Best Time To Buy And Sell Stock 买卖股票最佳时机

关键字：leetcode，Best Time To Buy And Sell Stock，算法，algorithm，动态规划，dynamic programming

leetcode 上关于Best Time to Buy and Sell Stock主题的题目有四个：

• https://leetcode.com/problems...
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这四个题目难度依次递增。大致意思就是，给我们一个 List<Integer> prices ，然后让我们找到怎么买卖才能获得最大收益。其中第四个问题是寻求一个通解，在给定 prices和最大买卖次数k的情况下，求最大收益。

首先大致的解题方向是动态规划，这个应该不难想到。之后就是怎么找到状态，怎么列状态转移方程。考虑某一天的情况，可以有如下三种状态：

• 当天买入
• 当天卖出
• 当天什么也没做

因为这个题目我们要找到最大收益，所以，如果最后一天的状态是买入的话，那么其收益一定不是最大的，因为最后一天买入的话，就没有机会卖出了。那么，上面的三个状态可以减少到两个：

1. 当天卖出。
2. 卖出，但是不在当天（即在前面的某一天）。

所以，我们用 soldAtToday[k] 来表示当天卖出且卖出的时候交易了 k 手的时候的最大收益，soldNotAtToday[k] 代表在之前某天卖出，且当前交易手数为 k 的时候的最大收益。那么，状态转移方程就可以用如下伪代码描述：

soldAtToday[k] =  max(soldAtYesterday[k] + price, soldNotAtYesterday[k - 1] + price);
soldNotAtToday[k] = max(soldAtYesterday[k], soldNotAtYesterday[k]);

其中，k 是交易次数。需要注意的是soldAtToday[k] = max(soldAtYesterday[k] + price, soldNotAtYesterday[k - 1] + price);中第一个备选项是soldAtYesterday[k]，而不是soldAtYesterday[k - 1]，其含义就是，把本应该昨天卖的延长一天到今天卖，所以交易次数还是 k 。

具体实现的时候，我们发现 soldAtToday 和 soldNotAtToday 都是只依赖于 soldAtYesterday 和 soldNotAtYesterday，所以我们可以利用两个长度为 k + 1 的数组来完成 today 和 yesterday 数据的存储。

package BestTimeToBuyAndSellStock.VersionIV;

@SuppressWarnings("Duplicates")
class Solution {

    private int quickSolve(int[] prices) {
        int len = prices.length, profit = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            // as long as there is a price gap, we gain a profit.
            if (prices[i] > prices[i - 1]) profit += prices[i] - prices[i - 1];
        }
        return profit;
    }

    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length <= 1 || k <= 0) {
            return 0;
        }

        int len = prices.length;

        if (k >= len / 2) return quickSolve(prices);


        int today = 1;
        int yesterday = 0;
        int[][] soldAt = new int[2][k + 1];
        int[][] soldNotAt = new int[2][k + 1];

        soldAt[today][0] = 0;
        soldAt[yesterday][0] = 0;
        soldNotAt[today][0] = 0;
        soldNotAt[yesterday][0] = 0;

        for (int i = 0; i < k + 1; i++) {
            soldAt[yesterday][i] = 0;
            soldNotAt[yesterday][i] = 0;
        }

        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            int price = prices[i] - prices[i - 1];
            for (int j = 1; j < k + 1; j++) {
                soldAt[today][j] = Math.max(
                        soldAt[yesterday][j] + price,
                        soldNotAt[yesterday][j - 1] + price
                );
                soldNotAt[today][j] = Math.max(
                        soldAt[yesterday][j],
                        soldNotAt[yesterday][j]
                );
            }
            int tmp = yesterday;
            yesterday = today;
            today = tmp;
        }

        return Math.max(soldAt[yesterday][k], soldNotAt[yesterday][k]);
    }
}

观察代码发现，开头多了一个 quickSolve 。这是因为，如果直接把上面我们描述的算法实现出来，提交上去，会出现 TimeLimted 的问题。仔细分析了一下超时的用例，发现他们的特征是 k 很大。其实，当 k 大于 prices.length / 2 的时候，就相当于没有 k 的限制，即随便买卖了，因为不考虑当天买当天卖的情况，或者把当天买卖的收益虚拟的记为 0 。那么我们的算法就退化成最简单的情况，于是使用一个 quickSolve 来解决即可。
这个题目也对我们日常工作提供了启示：出现问题了，找到瓶颈，分析特征，然后突破。