算法Training——数学规律

1.计算阶乘中尾部零的个数

描述：

计算出n阶乘中尾部零的个数

样例：

11！ = 39916800，故返回2

分析

• 对数字做质数分解，例如20=225，可以知道能够在尾部产生零的只有质数2和质数5的乘积
• 由于是阶乘，质数2的个数明显大于质数5的个数
• 特别需要注意的是，类似25=5*5，数字里面是有5的指数的

因而，总的个数应当是n/5 + n/(55) + n/(55*5) + ...

解答

fun trailingZeors(n: Long): Long {
    var num : Long = n / 5
    var zeroNums : Long = num
    while (num > 0){
        num /= 5
        zeroNums += num
    }

    return zeroNums
}

public long trailingZeros(long n) {
    long num = n / 5;
    long zeroNums = num;
    while (num > 0)
    {
        num /= 5;
        zeroNums += num;
    }

    return zeroNums;
}

2. 打印数字

描述

给一个整数n. 从 1 到 n 按照下面的规则打印每个数：

• 如果这个数被3整除，打印fizz
• 如果这个数被5整除，打印buzz
• 如果这个数能同时被3和5整除，打印fizz buzz

样例

比如 n = 15, 返回一个字符串数组：
[
"1", "2", "fizz",
"4", "buzz", "fizz",
"7", "8", "fizz",
"buzz", "11", "fizz",
"13", "14", "fizz buzz"
]

分析

逻辑清晰简单，并无值得分析之处

解答

fun fizzBuzz(n : Int) : Array<String>
{
    var output : Array<String> = Array(n, {""})

    for (i in 1..n)
    {
        if (i % 3 == 0 && i % 5 == 0)
        {
            output[i-1] = "fizz buzz"
        }
        else if (i % 3 == 0)
        {
            output[i-1] = "fizz"
        }
        else if (i % 5 == 0)
        {
            output[i-1] = "buzz"
        }
        else
        {
            output[i-1] = i.toString()
        }
    }

    return output
}

public List<String> fizzBuzz(int n) {
    // write your code here
    List<String> output = new ArrayList<>();
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        if (i % 3 == 0 && i % 5 == 0)
        {
            output.add("fizz buzz");
        }
        else if (i % 3 == 0)
        {
            output.add("fizz");
        }
        else if (i % 5 == 0)
        {
            output.add("buzz");
        }
        else
        {
            output.add(String.valueOf(i));
        }
    }

    return output;
}

3.二分查找

描述

给定一个排序的整数数组和一个要查找的整数target，用O(logn)的时间查找到target第一次出现的下标（从0开始），如果target不存在于数组中，返回-1

样例

在数组 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 10] 中二分查找3，返回2

分析

简单的二分查找问题，无须分析

解答

fun binarySearch(nums : IntArray, target : Int) : Int
{
    var start = 0
    var end = nums.size

    while (end - start > 1)
    {
        var mid = (end + start) / 2

        when
        {
            nums[mid] > target ->
                end = mid
            nums[mid] < target ->
                start = mid
            else ->
                return mid
        }
    }

    return when(target)
    {
        nums[start] -> start
        nums[end] -> end
        else -> -1
    }
}

4.出现次数统计

描述：

计算数字k在0到n中的出现的次数，k可能是0~9的一个值

样例

例如n=12，k=1，在 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]，我们发现1出现了5次 (1, 10, 11, 12)

分析

假设一个数n=4324，先考虑低位上的规律（先不计入千位）

• 只考虑个位数上的出现次数(n>10)，则可以按照0~9，10~19来划分，每10个数字出现1次，记为$$1*10^0$$
• 只考虑十位数和个位数的出现次数(n>100)，则除了个位数上的出现次数，在十位数上，还会出现10次重复，即10+10*1=20，记为$$2*10^1$$
• 只考虑百位数和十位、各位数的出现次数(n>1000)，则在百位数上会出现100次重复，同时，前面讨论的重复次数会再增加十倍，即100+20*10,记为$$3*10^2$$

再考虑千位本身，此时千位数字为4

• 若k<4，那么在千位上会出现1000次重复
• 若k=4，那么在千位上会出现324+1次重复
• 若k>4，那么在前为上不会出现重复

其它数字规律以此类推

解答

fun digitCounts(k : Int, n : Int) : Int
{
    var num = n
    var sum = 0

    while (num > 0)
    {
        val len = num.toString().length - 1
        val base = Math.pow(10.0, len.toDouble()).toInt()

        sum += len * (base / 10) * (num / base)

        if (k > 0 && num / base > k)
        {
            sum += base
        }
        else if (k > 0 && num / base == k)
        {
            sum += num % base + 1
        }

        num %= base
    }

    //计算式对0不通用，需要再+1
    if (k == 0)
    {
        sum += 1
    }

    return sum
}

public int digitCounts(int k, int n) {
    int sum = 0;

    while (n > 0)
    {
        int len = String.valueOf(n).length() - 1;
        int base = (int)Math.pow(10, len);

        sum += len * (base / 10) * (n / base);

        if (k > 0 && n / base > k)
        {
            sum += base;
        }
        else if (k > 0 && n / base == k)
        {
            sum += n % base + 1;
        }

        n %= base;
    }

    //计算式对0不通用，需要再+1
    if (k == 0)
    {
        sum += 1;
    }

    return sum;
}