数论概论学习笔记（一）——勾股数

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Pythagoras theorem（勾股定理）

一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。 如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

满足这个等式且没有公因数的的三元数组（a,b,c）称为勾股数。
可证a、b两个数必然一奇一偶，证明如下：

如果数a,b都是奇数，则数c必为偶数。可设a=2x+1,b=2y+1,c=2z,有

$$({2x+1})^2+({2y+1})^2=({2z})^2$$

展开化简得到下式：

$$2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2$$

上式左边为奇数，右边为偶数，等式显然不成立；

如果数a，b都是偶数，意味着c也是偶数。此时a,b,c都可以被2整除，此时a,b,c不互质。

证毕。

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定理

由$a^2+b^2=c^2$可得$a^2=(c-b)(c+b)$
  假设存在一个数d是(c-b),(c+b)的公因数，即d可以整除(c-b)和(c+b)，则d也可以整除
（c+b）+（c-b）= 2c与（c+b）-（c-b）= 2b

  故d整除2b和2c.而b、c没有公因数，因为我们假设（a,b,c）为本原勾股数组，可以得出d一定是1或2。但d也整除$(c+b)(c-b)=a^2$ 且a为奇数，所以d只能为1，所以(c-b),(c+b)没有公因数。
   现在我们知道c-b与c+b没有公因数且$a^2=(c-b)(c+b)$ ,所以c-b,c+b的积是平方数，当且仅当c-b和c+b本身都是平方数。记$c+b=s^2$ , $c-b=t^2$
其中$s> t \geq 1$ 为没有公因数的奇数。关于b和c解方程组得
$$c=\frac{s^2+t^2}{2},b=\frac{s^2-t^2}{2}$$

于是                     $a=\sqrt{(c+b)(c-b)}=st$

所以有以下定理

Pythagorean Triples  Theorem：
    We will get every primitive Pythagorean triple(a,b,c) with a odd and b even by using the formulas: 

$a=st$ , $ b=\frac{s^2-t^2}{2} $ ，$c=\frac{s^2+t^2}{2}$($s> t\geq 1$)

通过这个公式，取不同s，t的值便可生成不同的勾股数。

下表为 $s \leq 9$ 的所有勾股数

s	t	$a=st$	$b=\frac{s^2-t^2}{2}$	$c=\frac{s^2+t^2}{2}$
3	1	3	4	5
5	1	5	12	13
7	1	7	24	25
9	1	9	40	41
5	3	15	8	17
7	3	21	20	29
7	5	35	12	37
9	5	45	28	53
9	7	63	16	65

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