【图论】最小生成树

最小生成树有两种生成算法

• Prim（普里姆算法）
• Kruskal（克鲁斯克尔）算法

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Prim 算法（普利姆算法）

• 算法流程：（我的理解）

  • 任选一个元素，作为起始点
  • 将起始点标记为visit，代表该点已经加入最小生成树集合
  • 计算这个集合到未加入的各个点的距离
  • 选择一个最小的距离点，加入集合，即标记为已访问
  • 更新集合到其他各个点的最小距离
  • 迭代

存疑

- 目前没有找到记录下路径的办法，不知道是不是还没理解到位

Java 实现

package com.edu.chapter03;

import org.junit.Test;

public class MinimumTree {
    /**
     * 最小生成树
     */
    int n;
    int e[][];
    int dis[];

    public void createMinmumTree() {
        int pos = 1; // 从1节点开始，可以任意指定；pos 代表当前要加入最小生成树集合的编号
        int join[] = new int[n + 1]; // 记录各个点加入的情况
        int weight = 0;
        // 初始化最小生成树集合与其他各个点的距离
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dis[i] = i == pos ? 0 : e[pos][i];
        }

        for (int i = 2; i <= n; i++) { // 从寻找第二个点开始（并不是代表要把2号点添加进去）
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (join[j] == 0 && dis[j] !=0 && min > dis[j]) { // 找出集合距离未加入的点的最近边及点;dis[j]!=0 表示跳过和自己的比较
                    min = dis[j];
                    pos = j; // 找到最小位置，下一个要加入的点就是这个点
                }
            }

            join[pos] = 1; // 标记为以加入最小生成树集合
            weight += min;
 
            //重新计算集合距离其他点的距离
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (join[j] == 0 && dis[j] > e[pos][j]) { // 比较新加入的点是否带来的更短的距离，
                    dis[j] = e[pos][j]; //有，则更新。保证dis里存储的是到其他点的最近距离
                }
            }
        }
        System.out.println("weight:" + weight);
    }

    @Test
    public void test01() {
        n = 6;
        e = new int[n + 1][n + 1];
        dis = new int[n + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (i == j) {
                    e[i][j] = 0;
                } else {
                    e[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                }
            }
        }

        e[1][2] = e[2][1] = 2;
        e[1][3] = e[3][1] = 4;
        e[1][4] = e[4][1] = 7;

        e[2][3] = e[3][2] = 1;
        e[2][5] = e[5][2] = 2;

        e[3][4] = e[4][3] = 1;
        e[3][5] = e[5][3] = 6;
        createMinmumTree();
    }
}

Kruskal（克鲁斯克尔）算法

• 算法思路

  • 首先将图中的边按权重大小排序（从小到大）

    • 可以使用快速排序或者堆排序

  • 取出一条边，将边对应的两个节点放入一个集合

    • 如果集合中已经存在这两个点，则放弃该边
    • 不断有边加入，将不同的集合连起来，直到集合包含了所有节点，结束
    • 每次有效添加的一条边，代表了最小生成树中对应的边，或者说路径