如何计算图的最短路径？

算法导论(MIT 6.006 第15讲 第16讲 第17讲)

最短路径的定义是什么？

最短路径即拥有最小权重的路径p;
路径定义： p=<$v_0$,$v_0$,...,$v_k$>, 其中当$0\leq i<k$时，有 ($v_i$,$v_{i+1}$) $\in$ E;
路径的权重：w(p)=$\Sigma{^{k-1}_{i=0}}w(v_i,v_{i+1})$ ;

加上权重的数学表示方式

1. 边存在权重的图：G(V,E,W) ,W是一个函数，作用于边，生成一个实数，即W(E)->R
2. 顶点到自身的路径：($V_0$)表示从($V_0$)到($V_0$)的路径，权重是0
3. 两个顶点之间的最短路径：
   $\delta(u,v)=\lbrace{^{min\lbrace w(p)\rbrace{\quad} u,v之间存在路径}_{\infty{\qquad}u,v之前不存在路径}} $

E与V的关系 E=O($V^2$ )。对于有向图来讲，假设有两个顶点，v1,v2，他们之间只有4种连接情况，依次类推

为什么会有负的权重？

比如社交网络上的喜欢可以看做是正的权重，比喜欢可以看做是负的权重

负权重的边带来什么问题？

如果存在一个带有负权重的边，那么每经过一个循环，会减少原有的权重值，这样造成的现象是可以得到任何可以得到的权重值。比如路径p=<S,A>权重是4,但是路径p=<S,A,C,B,A>权重是3

最短路径算法的一般思路是什么？

d(v) 表示从源点s到当前节点v的路径权重 ,$\pi[v]$表示当前最好的路径上，v的前一个节点 ，通过这种方式就能重构整个最短路径

针对没有负权重的环

1. 初始化 d[v] = $\infty$ ,$\pi[u]$=NIL,d[s]=0
2. 通过某种方式选择边(u,v)，执行Relax操作，去更新源点到选择的顶点的当前路径值，以及选择顶点的前一个节点

Relax(u,v,w):
    select edge(u,v):
        if d[v]>d[u]+w(u,v):
            d[v]=d[u]+w(u,v)
            PI[v]=u
    until all edges have d[v] <= d[u]+w(u,v)

relax操作的过程中会不会产生一个一个比 $\delta$(s,v)还要小的值？

通过归纳法，假设有 d[u] $\geq$ $\delta$(s,u)。已知的是$\delta(s,v)$表示s到v的最短路径，那么任意一个到v的顶点u和源点s到u的最短路径必定大于等于$\delta(s,v)$，也就是
$$\delta(s,v)\leq\delta(s,u)+w(u,v)$$
通过前面的假设，则必定有 $\delta(s,v)\leq d[u]+w(u,v)=d[v]$ 。这说明，中间的过程的任意一个阶段产生的结果d[v]都不会比$\delta$(s,v)还要小

最短路径算法的一般思路问题一：错误的选边导致复杂度为指数级别

构造如下结构的图

边的权值按照$2^{n/2}$方式分配，图中给出的6个点的示例，如果全部显示的边($v_0$,$v_2$)的权值为$2^{n/2}$,并依次递减到1

假设源点为$v_0$,初始化选择的路径如下,可以得到从源点到各个点的路径长度。

此时，Relax($v_4$,$v_6$)的边,会更新$v_0$到$v_6$的路径长度为13

再Relax($v_2$,$v_4$)的边,会更新$v_0$到$v_4$的路径长度为10

由于新$v_0$到$v_4$的路径长度变短，那么($v_0$,$v_5$)的路径会变短为11

这个时候有可能先选的执行Relax的边是 ($v_5$,$v_6$)，那么($v_0$,$v_6$)的路径会变短为12

再次Relax边($v_4$,$v_6$)，那么($v_0$,$v_6$)的路径会变短为11

针对有n个顶点的情况：

• 首先Relax($v_{n-2}$,$v_{n}$),使得d[$v_n$]减1
• 再Relax($v_{n-4}$,$v_{n-2}$)，使得d[$v_{n-2}$]减2
• 然后Relax($v_{n-2}$,$v_{n-1}$)和($v_{n-1}$,$v_{n}$)使得d[$v_n$]减1
• 再执行Relax($v_{n-2}$,$v_{n}$),使得d[$v_n$]减1

可发现，当Relax的边($v_{n-2}$,$v_{n}$)权重为1的时候，使得顶点d($v_n$)减1；当Relax边($v_{n-4}$,$v_{n-2}$)权重为2的时候，使得顶点d($v_n$)减2，也就是从权重按照 1,2,4,...,$2^{(n/2)-1}$,$2^{(n/2)}$的方式执行的过程中，d($v_n$)需要执行减少的总次数为1+2+4+...+$2^{(n/2)}$=$2^{(n/2)}-1$，也就是说，会执行的次数为指数级别

最短路径算法的一般思路问题二：负权重环

如果在源点到目标节点经过的路径上，经过环会导致权重减少，这个算法不会结束

如何获取有向无环图（DAG）中，单个源点到某个点的最短路径？

DAG表示只是没有环，可以存在负边权重

1. 对DAG进行拓扑排序，这样保证了u到v的路径一定是u在v之前
2. 找到源点，按照从左到右，DAG排列的顺序，对经过的每个顶点进行Relax操作，便得到了源点到所有顶点的最短路径

假设排序好的拓扑图如下,对于初始化时，每个源点到每个节点的距离都认为是 $\infty$

第一步从源点往下走，找到它的所有的边，对边执行Relax操作

源点执行完毕，然后按照拓扑排列的顺序，从左往右执行，由于Relax只更改小于的情况，因此只有最后两个节点的路径值被更新

继续往右执行Relax

继续往右执行Relax

至此执行完毕，可以看到源点到所有节点的最短路径，从左到右分别是 $\infty$,0,2,6,5,3

如果图中有环，但是经过这个环不会导致权重减少，如何计算最短路径？

使用Dijkstra算法。伪代码算法如下：

Dijkstra(G,w,s): //G是图，w是权值，s是源点
    Initialize(G,s) // 初始化，设置d[s]=0,其它都是无穷，以及PI
    S <- {}    //已知最短路径的点的集合
    Q <- V[G]  //需要被处理的顶点，可以看做是一个最小优先级队列，根据d()值进行排序
    while Q is not empty: //只要还有没处理的节点
        u <- Extract-Min(Q) //从节点中找出一个最小的路径权重的节点，并从Q中移除
        S <- S U {u} //将找到的节点并到S中
        for each vertex v belong to Adj
            Relax(u,v,w) //对边的d()值进行更新

例子如下，选择A为源点

1. 进行初始化，从A到其它节点的距离都是$\infty$,即 S={} ，Q={A(0),B($\infty$),C($\infty$),D($\infty$),E($\infty$)}；
2. 获取队列中的最小值，此时是A本身，此时S={A(0)},然后进行一次Relax操作，即发现A能达到的顶点为B,C，更新后队列中的值为 Q={B(10),C(3),D($\infty$),E($\infty$)};
3. 获取队列中的最小值，此时是C，S={A(0),C(3)},对选择的C做Relax,C能到达的节点为B,D,E，相应队列更新为:Q={B(7),D(11),E(5)};
4. 获取队列的最小值，此时是E，S={A(0),C(3),E(5)},对选择的E做Relax,E能到的节点为D,由于比现有的D值要大，所以没有更新，Q={B(7),D(11)};
5. 获取队列的最小值，此时是B，此时S={A(0),C(3),E(5),B(7)},B能到达的只剩下D了，B到D得到的值为9，要小，更新Q={D(9)}
6. 获取队列最小的值，此时是D，此时S={{A(0),C(3),E(5),B(7)，D(9)},至此结束。

括号中的值表示路径距离

Dijkstra算法的时间复杂度

所有的耗时操作包括：

• 将所有的顶点插入优先级队列中，耗时为 $\theta(V)$;
• 从优先级队列中提取一个最小的值，耗时为$\theta(V)$;
• Relax操作对边进行d值减少，耗时为$\theta(E)$;

实现优先级队列方式不同，耗时不同

1. 使用Array。 提取最小值花销：$\theta(V)$，Relax对d值进行减少$\theta(1)$，操作所有的队列中的元素，那么时间就是 $\theta(V*V+E*1)$=$\theta(V^2)$
2. 使用最小堆。提取最小值花销:$\theta(\lg V)$,减少key的花销$\theta(\lg V)$,操作所有的队列中的元素，那么时间就是 $\theta(V*\lg V+E*\lg V)$
3. 使用Fibonacci堆，提取最小值花销:$\theta(\lg V)$,减少key的花销$\theta(1)$，能到达$\theta(V*\lg V+E)$

最直观的使用Dijkstra的感受是：以下图为例：
假设绿色的点是源点，如果用这样长度的绳子将各个节点连接起来，那么拎起绿色的球，从上往下悬挂，那些蹦直的线相加就是源点到各个点的最短距离，比如绿色是源点，到其它点的最短距离分别是 7,12,18,22(颜色依次是紫色、蓝色、黄色、红色)

为什么Dijkstra不能处理负权重环的问题？

Dikstra不会去看已经处理好的节点，只会处理没有看到的节点，如果已经处理的节点都是最小的值，再不存在负权重环的情况下，是不会出现使得路径变小的情况。详见：https://stackoverflow.com/que...

如果在源点到目标节点经过的路径上，有经过环且会导致权重减少，怎么处理最短路径问题？

使用Bellman-Ford算法。

Bellman-Ford(G,w,s):
    Initialuze(G,s)
    for i=1 to |V|-1:
        for each edge(u,v) belong to E:
            Relax(u,v,w)
    for each edge (u,v) belong to E:
        if d[v]>d[u]+w(u,v)
            report negative cycle exist

Bellman-Ford最终提供的是，如果没有负权重的环，那么能返回最短路径（d[v]=$\delta(s,v)$），否则只是检测出存在负权重的环

耗时分析

两个for循环，分别为V，E，所以时间复杂度就是O(VE)

为什么Bellman-Ford算法在不存在负权重环的情况下能够计算最小路径？

只需要证明，如果不存在负权重的环，那么经过Bellman-Ford有d[v]=$\delta(s,v)$。

取一条拥有最少边的最短路径p=<$v_0$,$v_1$,...,$v_k$>，其中$v_0$为s,$v_k$=v。 如果不存在负权重的环，那么说明p是一条简单路径，这表明，k$\leq$|V|-1。

这里也不可能是一个正环，即每经过这个环，权重增加，如果是那么它就不是最短路径了

当进行第一次循环的时候，取到的边($v_0$,$v_1$)进行了Relax,那么有 delta(s,$v_1$)=d[$v_1$]
进行第二次循环，取到的边($v_1$,$v_2$)进行了Relax,那么有delta(s,$v_2$)=d[$v_2$]
那么经过k轮循环之后，有delta(s,$v_k$)=d[$v_k$],也就是说经过了|V|-1轮循环之后，每个从源点可达的顶点都计算了最短路径

简单路径（simple path）：指除了起点和终点之外，其它顶点不会重复。对于简单路径p=<$v_0$,$v_1$,...,$v_k$>来讲，如果k>=|V|，那么路径上总的顶点数是|V|+1，但实际只有 |V|个顶点，那么必定存在一条重复的边，使得非起点终点重复了，也就是说他不是简单路径了

为什么Bellman-Ford算法能检测负权重环？

经过|V|-1轮循环之后，如果还有一条边能够Relax,那么当前从s到v的最短路径并不是简单路径，因为所有的节点都已经看过了，这时候肯定存在了重复的节点，也就是说存在一个负权重的环

如果对一个路径上有环，且所有权重值都是负权重，那么使用Bellman-Ford算法能得到最长路径吗？

不能，因为Bellman-Ford对于存在负权重的环的时候只会抛出异常，并没有计算路径，这实际是一个N-P的问题，即花的时间在指数级别或者之上

类似的，如果要求不经过负权重的环的情况下，计算最短路径，也并不是件容易的事情