[HackerRank] Forming a Magic Square 魔方代价问题

题目地址：Forming a Magic Square | HackerRank

题目大意：

定义 n 阶魔方（ magic square ）为行、列、对角线元素之和均相等的 n * n 矩阵，且矩阵中元素值为 1 ~ n^2，且各位置元素各不相同。

给定任意 3 * 3 矩阵，判断将其转换为 3 阶矩阵所需调整的数字差值。

例子：

5 3 4
1 5 8
6 4 2

答案：

可以将其转换为：

8 3 4
1 5 9
6 7 2

其代价为：假定矩阵为 matrix，变换过程中改变了 matrix[0][0]、matrix[1][2]、matrix[2][1] 的值，因而其代价为：|8 - 5| + |9 - 8| + |7 - 4| = 7

编程语言：Scala

1. 参考思路

本想找一些很巧妙的解决方法，但无奈没有找到。但就这个问题而言，先枚举出所有的 3 阶魔方解集，依次遍历求得代价是肯定可以解决的。查看了题目的解析，发现也是采用这个方法：Forming a Magic Square | HackerRank。

由于 3 阶魔方的解集只有 8 个元素，手算出所有解法并写死在代码中也是可以解决的。但这里讨论一下编码得到解集的方法。

在大题思路上，可以采用：

1. 得到一个可能的解集；
2. 按照 3 阶魔方的定义对解集进行过滤。

对于第一步，可选择解集有：

1. 3 * 3 数组，数组中数字大小为：1 ~ 9。其总数为 9 ^ 9。
2. 以数字 1 ~ 9 放置的 3 * 3 数组。其总数为 P(9, 9)，即 1 ~ 9 的全排列。

得到这两种可能解集的方法都比较简单，在 3 阶情况下，其量级也都可以接受。以下讨论另一种可能解集：

我们知道，对于 3 阶魔方，其中心数字一定为 5，且以 5 为中心的四条线所连接的剩下位置，需要由四对值：(1, 9)、(2, 8)、(3, 7)、(4, 6) 填充（ 这里暂不考虑每一对中数字的顺序 ）。

也就是说，我们可以将该四对值，放置到魔方中剩余的位置，并将该结果集当做可能集，从而进一步缩小其数量。

其中四组坐标为：

(0, 0), (2, 2),
(0, 1), (2, 1),
(0, 2), (2, 0),
(1, 0), (1, 2)

对于这个问题，为了得到所有的放置方式，我们可以借助排列（ Permutation ）问题辅助求解。即先获得 (0, 1, 2, 3) 四个值全排列的所有解集，即 P(4, 4)。然后，对于解集中的任意一个解，以其值为该值对（ value pair ）对应的位置索引。（ 关于排列组合的编码和思路问题可以参考：获取排列组合的结果集 ）

比如，对于排列 (3, 1, 2, 0)，意味着我们将 (1, 9) 放置在 3 号位置 (1, 0), (1, 2) 中、将 (2, 8) 放置在 1 号位置 (0, 1), (2, 1) 中，以此类推。

注意，由于将 (1, 9) 放置在 (1, 0), (1, 2) 中实际上又有两种方式，即 matrix(1)(0) = 1 & matrix(1)(2) = 9 与 matrix(1)(0) = 9 & matrix(1)(2) = 1。所以对于任意的一种组合，考虑四对值均需考虑顺序，其又存在 2 2 2 * 2 种可能的方式。

2. 参考代码

按照上述思路，参考代码如下：

2.1 魔方验证代码

def isValid(target: Array[Array[Int]]): Boolean = {
    val STANDARD = 15
    var valid = true
    var index = 0
    if (STANDARD.equals(target(1)(1) + target(0)(0) + target(2)(2)) == false) valid = false
    if (STANDARD.equals(target(1)(1) + target(0)(2) + target(2)(0)) == false) valid = false
    while(index < 3 && valid) {
        if (STANDARD.equals(target(0)(index) + target(1)(index) + target(2)(index)) == false) valid = false
        if (STANDARD.equals(target(index)(0) + target(index)(1) + target(index)(2)) == false) valid = false
        index += 1
    }
    valid
}

2.2 辅助类

为了使代码更直观，这里我们新建一些辅助类，用以表示矩阵的坐标和坐标对：

case class Point(x: Int, y: Int)

坐标对，即以中心为对称的坐标：

case class Pair(left: Point, right: Point)

2.3 获取全排列

这里该出获取排列的代码，详细解释可参考：获取排列组合的结果集。

def getAllPermutations(count: Int, candidates: ArrayBuffer[Int]): ArrayBuffer[ArrayBuffer[Int]] = {
    val container = ArrayBuffer[ArrayBuffer[Int]]()
    traverse(count, candidates, ArrayBuffer[Int](), container)
    container
}

def traverse(count: Int, candidates: ArrayBuffer[Int], bag: ArrayBuffer[Int], container: ArrayBuffer[ArrayBuffer[Int]]): Unit = {
    val candidatesLength = candidates.length
    if (candidatesLength >= count) {
        if (count.equals(1)) {
            for (item <- candidates) {
                val finalBag = bag.clone()
                finalBag += item
                container += finalBag
            }
        } else {
            for ((item, index) <- candidates.zipWithIndex) {
                val nextBag = bag.clone()
                nextBag += item
                val nextCandidates = candidates.slice(0, index) ++ candidates.slice(index + 1, candidatesLength)
                traverse(count - 1, nextCandidates, nextBag, container)
            }
        }
    }
}

2.4 获取可能集

def getAllCandidates(): Array[Array[Array[Int]]] = {
    val numberPairs = Array[Array[Int]](
        Array[Int](1, 9),
        Array[Int](2, 8),
        Array[Int](3, 7),
        Array[Int](4, 6)
    )
    val positions = ArrayBuffer[Array[Pair]]()
    val A = Array[Pair](Pair(Point(0, 0), Point(2, 2)), Pair(Point(2, 2), Point(0, 0)))
    val B = Array[Pair](Pair(Point(0, 1), Point(2, 1)), Pair(Point(2, 1), Point(0, 1)))
    val C = Array[Pair](Pair(Point(0, 2), Point(2, 0)), Pair(Point(2, 0), Point(0, 2)))
    val D = Array[Pair](Pair(Point(1, 0), Point(1, 2)), Pair(Point(1, 2), Point(1, 0)))

    val permutations = getAllPermutations(4, ArrayBuffer[Int](0, 1, 2, 3))

    for (item <- permutations) {
        for (a <- A){
            for (b <- B){
                for (c <- C){
                    for (d <- D){
                        val temp = Array[Pair](a, b, c, d)
                        positions += Array[Pair](
                            temp(item(0)), temp(item(1)), temp(item(2)), temp(item(3))
                        )
                    }
                }
            }
        }
    }

    val candidates = ArrayBuffer[Array[Array[Int]]]()

    for (pairs <- positions) {
        val matrix = Array.ofDim[Int](3, 3)
        matrix(1)(1) = 5
        for ((pair, index) <- pairs.zipWithIndex) {
            matrix(pair.left.x)(pair.left.y) = numberPairs(index)(0)
            matrix(pair.right.x)(pair.right.y) = numberPairs(index)(1)
        }
        candidates += matrix
    }

    candidates.toArray.filter(isValid(_))
}

2.5 获取最小代价

这一步比较简单，即遍历候选矩阵和目标矩阵，得到代价最小的解。

def formingMagicSquare(s: Array[Array[Int]]): Int = {
    val candidates = getAllCandidates
    var cost = Int.MaxValue
    for (candidate <- candidates) {
        var currentCost = 0
        for ((row, rowIndex) <- candidate.zipWithIndex) {
            for ((item, columnIndex) <- row.zipWithIndex) {
                currentCost += Math.abs(item - s(rowIndex)(columnIndex))
            }
        }
        if (currentCost < cost) cost = currentCost
    }
    cost
}

2.6 测试

def main(args: Array[String]): Unit = {

    val target = Array[Array[Int]](
        Array[Int](4, 8, 2),
        Array[Int](4, 5, 7),
        Array[Int](6, 1, 6)
    )
    println(formingMagicSquare(target))
}

代码 Gist 地址：Magic Square：https://www.hackerrank.com/challenges/magic-square-forming/problem · GitHub

参考链接

1. 获取排列组合的结果集 - DB.Reid - SegmentFault 思否
2. scala 2 dimensional array - Stack Overflow