2018年第27周-大话数据结构的笔记（图的定义）

图是一种较线性表和树更加复杂的数据结构。线性表只是简单的线性关系，前驱后继的。树形结构就层次关系，只能和上一层一个元素相关。简单的理解就是，线性表是一对一关系，树形结构是一对多关系，而图则是多对多，如人与人之间的关系。
图是一种数学模型，并非抽象的图像概念，只是把这种G(V,E)展示为图的样子。所以不能靠眼睛去看，要靠数学和逻辑工具去分析。

图的相关定义（术语）

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
在图中的数据元素，我们则称之为顶点。
线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系；树形结构中，相邻两层的结点具有层次关系；图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

无向边：顶点vi到vj之间的边没有方向。
无向边用带括号的无序偶对(vi,vj)表示，也可以写成(vj,vi)。

无向图：图中的任意两个顶点之间的边都是无向边。

上图的无向图G1，可以表示成：G1=(V1,{E1})，其中顶点集合V1={A,B,C,D}；边集合E1={(A,B),(B,C)(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边：顶点vi到vj的边有方向。 也称为弧（Arc）。在有向图，一般称为弧，不叫边，用于清楚地交流。
有向边用带尖括号的有序偶对<vi,vj>来表示。其中vi称为弧尾（Tail），vj称为弧头（Head）。注意不能写成<vj,vi>，这与<vi,vj>表示的边不同。
有向图：图中任意两个顶点之间都是有向边。

上图的有向图G2，可以表示成：G2=(V2,{E2})，其中顶点集合V2={A,B,C,D}；弧集合E2={(A,D),(B,A)(C,A),(B,C)}

简单图：在图中，如果不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
所以有向图存在弧<A,B>和弧<B,A>也是简单图

无向完全图：在无向图中，任意两个顶点之间都存在边。此时边的数量公式为：n(n-1)/2
有向完全图：在有向图中，任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧。此时弧的数量公式为：n(n-1)

具有n个顶点和e条边的图，存在这样的边界：
无向图：0<=e<=n(n-1)/2
有向图：0<=e<=n(n-1)

稀疏图：相对来说，并不量化的定义，有很少条边或弧的图。
稠密图：与稀疏图相对应。

子图（Subgraph）：假设两个图G=(V,{E})和G'=(V',{E'})，如果集合V'⊆V，且集合E'⊆E，则称G'是G的子图。

带权图的定义

权（Weigh）：与图的边或弧相关的数。
网（Network）：带权的图。

边与顶点关系的定义

在无向图G=(V,{E})里顶点v、v'和边(v,v')∈E之间有以下关系：
从顶点v和v'角度来看边：

顶点v和v'互为邻接点（Adjacent），也可以说v和v'相邻接。

从边(v,v')角度看顶点：

边(v,v')依附于顶点v和v'，也可以说(v,v')与顶点v和v'相关联。依附（incident）

顶点的度

顶点v的度（Degree）：是和v相关联的边的数目，记作：TD(v)
有以下公式，图中边的个数时各个顶点度数之和的一半：
e=1/2∑TD(vi)

在有向图G=(V,{E})里顶点v、v'和边<v,v'>∈E之间有以下关系：
从顶点v和v'角度来看边：

顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v。

从边<v,v'>角度看顶点：

边<v,v'>与顶点v和v'相关联。

顶点v的入度（InDegree）：以顶点v为头的弧的数目，记作：ID(v)
顶点v的出度（OutDegree）：以顶点v为尾的弧的数目，记作：OD(v)
顶点v的度（InDegree）：TD(v)=ID(v)+OD(v)
有以下公式，图中边的个数时各个顶点度数之和的一半：
e=∑ID(vi)=∑OD(vi)

路径的定义

路径（Path）：图中从顶点v到v'的顶点序列。

树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径却是不唯一的。

路径长度：路径上的边或弧的数目。

回路（Cycle）：路径中第一个顶点到最后一个顶都是同一个顶点。
简单路径：路径中不存在重复出现顶点。
简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点，路径中不存在重复出现顶点，也称简单环。

连通图的定义

v和v'是连通的：说明顶点v到顶点v'有路径。
连通图（connected graph）：任意两个顶点vi、vj∈E，且vi和vj都是连通的。　　

连通分量（Connected Component）：无向图G的极大连通子图

任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身，非连通的无向图有多个连通分量。

连通分量这个概念可以拆分为四个含义（这四个含义它们之间是且的关系）：
1.要是子图
2.子图是连通图
3.子图含有极大顶点
4.incident于这些极大顶点的所有边　　　　

注：极大并非最大，可以理解为数学中求函数的极大值和最大值　　

强连通图在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V且vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径的这种有向图。
强连通分量有向图中的极大强连通子图。

连通图生成树

连通图 G的一个子图是一棵包含G 的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树(SpanningTree)。生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。即生成树包含图中的全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
图的生成树不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。
有向树：邮箱图中一顶点入度为0其余顶点入度为1.
森林：由若干棵有向树构成的有向图