题目
题目:输入一棵二叉树,判断该二叉树是否是平衡二叉树。
注:这个题思路很好,可以经常看。
解法一
思路
一般来说,平衡二叉树既是平衡的树,又是二分搜索树。但此题只要求判断是不是平衡的。
判断一棵树是否是平衡的,就是判断所有的节点是不是平衡的。
判断一个节点是不是平衡的,就是判断左右子节点的高度差是否<=1
。
如果学过AVL树,思路是一样的,但是却有一点不同,AVL树的TreeNode
结构体(每个节点)中有一个成员表示高度,在每次插入节点的时候就会更新每个节点的高度,所以判断是否平衡的时候可以直接判断是否为平衡的。
而这个题的TreeNode
结构体如下所示:
struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
TreeNode(int x) :
val(x), left(NULL), right(NULL) {
}
};
这个结构体并没有保存高度信息,所以第一个想法是写一个求高度的函数,分别对左右子树求高度,再看高度差受否满足平衡二叉树的要求。
求树的高度可以使用递归法,树的高度等于左右子树高度的最大值再加上1(自身节点高度为1),递归代码如下:
int getHeight(TreeNode *node){
if(node == NULL)
return 0;
return 1 + max(getHeight(node->left), getHeight(node->right));
}
判断当前节点是否平衡,就是计算左右子树的高度差。
判断当前树是不是平衡,就是判断当前节点、当前节点的左子树、当前节点的右子树是否平衡,还是个递归问题。
代码
class Solution {
public:
// 递归求高度
int getHeight(TreeNode *node){
if(node == NULL)
return 0;
return 1 + max(getHeight(node->left), getHeight(node->right));
}
//判断该节点是否平衡
bool IsBalanced(TreeNode *node){
if(node == NULL)
return true;
if(abs(getHeight(node->left) - getHeight(node->right)) > 1)
return false;
return true;
}
bool IsBalanced_Solution(TreeNode* pRoot) {
if(pRoot == NULL)
return true;
return IsBalanced(pRoot) && IsBalanced(pRoot->left) && IsBalanced(pRoot->right);
}
};
代码提交后,成功过关。
解法二
思路
虽然成功的做出了这个题,但是总觉得有很别扭的地方。
为了求判断某个节点是不是平衡,需要求左右子树的高度,判断完该节点之后,又需要判断左子树是不是平衡,这个时候又需要计算左子树的左右子树的高度,讲道理,第一次递归求根节点的高度时,下面的节点的高度已经被计算过了,但是却没有被记录下来,导致白白遍历了很多次。
借鉴动态规划中的记忆化搜索,可以使用map<TreeNode*, int> mp
来记录每个节点的高度,如果发现计算过,就直接返回记录的值。
这样应该能解决重复递归的问题,但是又增加了空间复杂度。
看了下别人的思路,豁然开朗。原先的做法中,在求当前节点的高度时,递归计算下面了所有节点的高度,但是却没有充分利用这些高度值。其实这个时候可以多做一件事情,判断该节点是不是平衡的!如果不平衡,可以提前结束递归。
代码
class Solution {
public:
int getHeight(TreeNode *node){
if(node == NULL)
return 0;
int left = getHeight(node->left); //求左子树的高度
if(left == -1) return -1; //求左子树的高度的时候发现了该节点不平衡
int right = getHeight(node->right);
if(right == -1) return -1;
return abs(left - right) > 1 ? -1 : 1 + max(left, right); //求该节点的高度
}
bool IsBalanced_Solution(TreeNode* pRoot) {
return getHeight(pRoot) != -1;
}
};
思路还是有点绕,举个栗子:
如上图,递归的步骤是:
- 求节点
1
的高度时,递归到了叶子节点4
,左右节点的高度值都为0,可以判断出节点4
是平衡的,所以求的节点4
的高度值为1,并将这个高度值返回递归的上一层!!! - 这时返回上一层,到了节点
3
。它得到到了左节点4
的高度值1,继续递归计算右节点的高度,得到高度值0,所以节点3
满足平衡条件,且自身的高度值为2,又将这个高度值返回给上一层。 - 又返回了上一层,到了节点
2
。它得到到了左节点3
的高度值2,继续递归计算右节点的高度,得到高度值0,这个时候就发现节点2
是不平衡的了!没有必要继续再计算高度了,直接层层返回失败就行了。由于返回值是int
,所以设定返回-1
就是失败。这也就是为什么需要在得到高度后判断是不是-1
的原因。 - 最后只需要保证根节点的高度值不是-1就说明是这棵树是平衡的了
总结
- 递归是个大杀器,也难以利用,不要重复递归。
- 递归说到底还是个栈,只是利用了函数调用形成的栈。
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