小学数学知识之质数、公约数与公倍数

1. 质数的概念

首先，在自然数中，有一类数，它们除了1 和它本身两个因子之外，

不能再分解为其他的数的乘积，那么它就是质数，当然，我们规定0和1不是质数。

如果说因子是朋友的话，质数除了1之外再也没有别的朋友了，所以质数也被称为

“孤独数”。

2. 算术基本定理

任何大于1的整数都可以分解为若干个质数的积，

即整数 N = p1^a1 p2^a2 p3^ a3...pn^an (N > 1, 且 p1, p2, ..pn 皆为质数)

证明：小学生可以忽略以下证明

1. 先证明一条定理：如果 p > 1 且 p 是 N 除1外的最小的因子， 则 p 为质数。

   证明： 若 p 不是质数，p 必然可以分解成两个更小的数q, r的乘积，

   而 r < p, 并且 r 也是 N 的因子（因为 r 是 p 的因子， p 是 N

   的因子），这与 p 是 N 除1外的最小的因子矛盾，故 p 一定是质数。

2. 既然 p 是质数， 那么 N = p * (N / p)

对于 N / p , 显然它不为1的最小因子必然是质数，反复运用这个结果就会得出算术基本定理。

3. 公约数

两个正整数都拥有的因子是这两个数的公约数

1 是任何两个正整数的约数，而且是最小公约数

求最大公约数的方法

对于两个正整数 A, B,

基于算术基本定理，取出两个数共有的质因子，并且取质因子个数最小的那

个，则积就是最大公因数。

举例：48 和 72

48 = 2^4 * 3

72 = 2^3 * 3^2

48 和 72 都有公因子2 和 3， 取2的最小个数3（4 > 3）, 3的最小个数1（2 > 1）。

这样得到 48 和 72 的最大公约数是 2^3 3^1 = 8 3 = 24

4. 公倍数

两个正整数的公倍数是指能同时整除这两个数的数

求最小公倍数的方法

基于算术基本定理，要使得一个数同时能整除这两个数，那么这个数一定包

含这两个数中的所有因子，并且如果这两个数含有相同的因子，那么取这两

个因子中个数最多的那个。

举例：72 和 84

360 = 2^3 * 3^2 × 5

84 = 2^2 3 7

360 和 84 含有相同的因子 2 和 3, 取2的最大个数3（3 > 2）, 3的最大个数

2（2 > 1）, 并将 5 和 7 包括进去。

这样得到 360 和 84 的最小公倍数是 2^3 3^2 5 7 = 8 9 5 7

= 72 5 7 = 360 * 7 = 2520

5. 注意

正整数A, B 的最大公约数不大于A, 也不大于B,

最小公倍数不小于A, 也不小于B

6. 隐藏在算术基本定理下的一个结论

正整数A, B 的最大公约数乘以正整数A, B 的最小公倍数= A * B

想想这是为什么？