算法-辗转相除法（欧几里得算法）

对于两个数的最大公约数的求解，在我们的笔算过程中，通常是使用一个短除法，本质上其实也就是进行一个质因数分解的过程，但对于一个较大的数来说，将其进行质因数分解是一件非常耗时的过程，这显然不是一个好的做法，因此基于数论基础，我们有了辗转相除法，也叫做欧几里得算法。

GCD递归定理

在叙述该算法之前，先了解辗转相除法的实现前提也就是GCD递归定理：

对任意非负整数$a$和任意正整数$b$,

$$ gcd(a,b) = gcd(b,a \quad mod \quad b) $$

辗转相除法算法概述

基于上面的GCD递归定理，我们便可以知道可以采用递归的方式，对两个整数的最大公约数进行相对较为高效的计算。

算法描述：

1. 求两个数的余数；
2. 若余数为0，则较小数即为最大公约数；否则执行3；
3. 用较小的数替换较大的数，用余数替换较小的数；
4. 返回1.

算法示例

$$ gcd(30,21) = gcd(21,9) = gcd(9,3) = gcd(3,0) = 3 $$

辗转相除法伪代码表示

下面我们采用递归方式实现辗转相除法。
(以下引用自《算法导论》)

GCD(a, b)

if b == 0
  return a
else
  return GCD(b, a mod b)

辗转相除法实现

C

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}

pascal

function gcd(a, b : integer) :integer;
begin
    if b = 0 then
        gcd := a
    else
        gcd := gcd(b, a mod b);

参考资料

• 《算法导论》（第三版）
• 《Free Pascal 语言与基础算法》