数据结构学习笔记-时间复杂度

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时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法的时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

推导大O阶方法

如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们可以参考下面的推导方法。

推导大O阶：
1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

下面让我们根据这个推导方法来看几个例子。

常数阶

int sum = 0,n = 100;  /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n/2;  /* 执行一次 */
System.out.println(sum);  /* 执行一次 */

这段程序的执行次数是f(3)。我们使用大O阶的方法推导一下：

1. 将常数项3改为1。
2. 保留最高阶项。

没有最高阶项，所以这段程序的时间复杂度为O(1).

可以试想一下，如果这段代码里的

sum = (1 + n) * n/2;  /* 执行一次 */

一共有10句，那么时间复杂度是多少呢？

事实上，无论有多少句该代码，都不过是3次和多次的执行差异。像这种执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

注意：无论这个常数是多少，我们都记作O(1)。

同理，对于单纯分支结构（不包含在循环中的if或switch语句）而言，执行的次数都是恒定的，其时间复杂度也是O(1)。

线性阶

线性阶的循环结构会复杂一些。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集的运行次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环时间复杂度为O(n)，因为循环中的代码须要执行n次。

for(int i = 0; i < n; i++){
}

对数阶

int count = 1;
while(count < n){
    count = count * 2;
}

由于每次count乘以2之后，就离n更近了一些。也就是是，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n得到x=log2n(以2为底n的对数)。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环时间复杂度为O(n)。

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = 0; j < n; j++){
    
    }
}

对于外循环不过是这个时间复杂度为O(n)的语句循环了n次，所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

如果外循环的次数改为了m，那么时间复杂度就变为了O(m*n)。

所以我们可以总结出来：循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以循环运行的次数。

那么，下面这段代码的时间复杂度是多少呢？

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = i; j < n; j++){
    
    }
}

我们可以推导一下当i = 0 时，内循环执行了n次；当i = 1时，执行了n - 1次，……当 i = n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：

n + (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

用推导大O阶的方法

1. 由于没有加法常数，可以不考虑
2. 只保留最高阶，也就是保留n^2/2
3. 去除常数的相乘项，也就是去除1/2

最终，这段代码的时间复杂度就是O(n^2)。

常见的时间复杂度

该表列举了一些常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
5log2n(2为底n的对数)+20	O(logn)	对数阶
2n+3log2n(2为底n的对数)+19	O(nlgon)	nlogn阶
6n^3+2n^2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

常用的时间复杂度从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)