JavaScript是怎样编码数字的[How numbers are encoded in JavaScript]

在JavaScript中所有的数字都是浮点数，本篇文章将介绍这些浮点数在JavaScript内部是怎样被转为64位二进制的。
我们会特别考虑整数的处理，所以读完本篇之后，你会理解为什么会有以下结果发生:

> 9007199254740992 + 1
9007199254740992
> 9007199254740992 + 2
9007199254740994

1. JavaScript的数字

JavaScript数字全部是浮点数。 根据 IEEE 754标准中的64位二进制(binary64), 也称作双精度规范(double precision)来储存。从命名中可以看出，这些数字将以二进制形式，使用64个位（感谢jingge指出错误）来存储。这些字节按照以下规则分配：

0 - 51 位是 分数f（fraction ）
52 - 62 位是 指数（exponent ）
63 位 是 标志位 （sign）

标志位 （s, sign）	指数（e, exponent ）	分数（f, fraction ）
(1 bit)	(11 bit)	(52 bit)
63	62	51
	52	0

他们按照以下规则表示一个数字: 如果标志位是0， 表示这个数字为正数，否则为负数。粗略来说，分数f用来表示数字的‘数码’（0-9），指数表示这个数字的‘点’在哪里。接下来我们会使用二进制（虽然这并不是通常的浮点数表示方式）。并用一个%作为前缀来标识。虽然JavaScript数字是以二进制保存的，但输出（打印）时通常是以10进制显示. 接下来的例子，我们也会沿用这一规则。

2. 分数f

下表是一种表示非负浮点数的方法:
尾数 (小数点后面的数，significand 或 mantissa ) 以自然数字的形式保存‘数码’，指数决定需要往左（负指数）或者右（正指数）移多少位。再忽略位数，这个JavaScript数字就是 有理数1.f乘以2p。
译者注: 这里指数用p而不是e来表示是因为e是一个偏移量，第三点会详细说明

比如以下例子:

f = %101, p = 2	Number: %1.101 × 22 = %110.1
f = %101, p = −2	Number: %1.101 × 2−2 = %0.01101
f = 0, p = 0	Number: %1.0 × 20 = %1

2.1 表示一个整数

需要多少位来编码一个整数呢？ 尾数共有53个数码，1个在‘点’的前面，52个在后面，如果p=52，我们就有一个53位的自然数，现在的问题是最高位总是为1，也就是说我们不能随便的使用所有的位。要去掉这个限制，我们需要2步，首先. 如果需要最高位是0，第二位是1的53位的数字，将p设置为51，这时分数f最低位变成了‘点’后面的第一个数码，也就是整数0。按照这个规律，直到指数p=0，分数f=0，这就是数字1的编码。

	52	51	50	...	1	0	(bits)
p=52	1	f51	f50	...	f1	f0
p=51	0	1	f51	...	f2	f1	f0=0
...	...	...	...	...	...	...	...
p=0	0	0	0	...	0	1	f51=0, etc.

其次，对于完整的53位数字，我们还需要表示0，我们将在下一段详细介绍。
需要注意的是，我们可以表示完整的53位整数，因为标志位是另外储存的。

3. 指数e

指数占11位，它可以表示0-2047（2^11-1）， 为了支持负指数，JavaScript使用偏移二进制来编码: 1023表示0，小于它的为负，大于它的为正。这就意味着，减去1023才能得到正常点数字。因此我们之前使用的变量p就等于e-1023,也就是尾数乘以2^e-1023
例如:

    %00000000000     0  →  −1023  (最小的数字)
    %01111111111  1023  →      0
    %11111111111  2047  →   1024  (最大的数字)
                         
    %10000000000  1024  →      1
    %01111111110  1022  →     −1 

如果需要一个负数，只需要颠倒一下它的位数，再减一

3.1 特殊的指数

有2个指数是保留位。最小的0，和最大的2047. 指数2047表示无穷大（infinity）和 NaN（非数字）值。IEEE 754标准有很多非数字值， 但是JavaScript把他们都表示为NaN。指数为0时有两个意思。1. 如果分数f也是0，表示这个数字就是0.因为标志位是单独存储的。所以我们有+0和-0;

然后指数0也可以用来表示非常小的数字（接近0）。此时分数f必须为非0，而且，如果这个数字是由%0.f × 2⁻¹⁰²²算出来的，这个表示方式叫做非规范化，而之前我们讨论的表示方式叫规范化。最小的非0正数可以被规范化为: %1.0 × 2⁻¹⁰²²。 最大的非规范化数字为: %0.1 × 2⁻¹⁰²²， 所以，从规范化到非规范化是过渡是平滑的。
译者注: 规范化就是把小数点放在第一个非零数字的后面

3.2 总结:

(−1)s × %1.f × 2e−1023	normalized, 0 < e < 2047
(−1)s × %0.f × 2e−1022	denormalized, e = 0, f > 0
(−1)s × 0	e = 0, f = 0
NaN	e = 2047, f > 0
(−1)s × ∞ (infinity)	e = 2047, f = 0

当p = e − 1023, 指数的范围是−1023 < p < 1024

4. 十进制分数

不是所有的十进制分数都能够非常精确的表示, 例如:

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

0.1和0.2都不能够被精确的表示成二进制浮点数。但是这个偏差通常非常非常小，小到不能够被表示出来，加法可以使这个偏差变得可见:

> 0.1 + 1 - 1
0.10000000000000009

表示0.1相当于表示一个分数110，难的部分在于分母是10，10素数分解是2*5. 而指数只能分解2，所以没有办法得到5。相同的， 1/3也不能被精确表示成一个十进制分数，它大概能被表示成0.333333。
但相对的。要用十进制表示一个2进制分数却是永远可行的，值需要使用足够的2（每个10都有1个2）。

%0.001 = 1/8 = 1/2 × 2 × 2 = 5 × 5 × 5/(2×5) × (2×5) × (2×5) = 125/10 × 10 × 10 = 0.125

4.1 对比十进制分数

因此，当你要处理10进制分数，不要直接去比较他们，先想一想，它可能会有一个上限，比如有一个上限叫做机器最小数 machine epsilon. 标准的双精度数的最小数为 2⁻⁵³.

var epsEqu = function () { // IIFE, keeps EPSILON private
    var EPSILON = Math.pow(2, -53);
    return function epsEqu(x, y) {
        return Math.abs(x - y) < EPSILON;
    };
}();

这个方法可以修正你的比较结果

> 0.1 + 0.2 === 0.3
false
> epsEqu(0.1+0.2, 0.3)
true

5. 最大的整数

“x 是最大的整数”这句话是什么意思呢？它的意思是说，任意整数n在 0 ≤ n ≤ x 范围内都是可以被表示的。也就是说如果大于x，将无法表示。比如253 。任何比它小的数字都可以被表示。

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) - 1
9007199254740991
> Math.pow(2, 53) - 2
9007199254740990
但比它大的就不行
> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992

关于253 这个上限，有一些很令人惊奇的表现。我们将用一些问题来解释这些现象。你要记住的是，这个上限是分数f的上限，指数e部分其实还有空间。

为什么是53位呢？你有53位来表示数的大小，除去标志位。但是分数f却是由52位组成的，这是为什么呢。从前面的文章可以看出，指数e从第53位开始，它会移动分数f，所以这个53位的数字（除了0）可以被表示出来，并且有一个特别的数字去表示0（并且分数f也是0）.

为什么最大的数不是2⁵³−1? 通常来说，x位就说明最小数是0，最大值是2^x−1. 比如8位数字最大是255。而在JavaScript里，最大的分数f确实是2⁵³−1，但2⁵³ 也可以被表示出来，因为有指数e的帮助。它只要让分数f等于0，指数e等于53即可。

%1.f × 2^p = %1.0 × 253 = 253

为什么大于2⁵³就不能表示了呢？例如:

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 1  // not OK
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 2  // OK
9007199254740994
> Math.pow(2, 53) * 2  // OK
18014398509481984

2⁵³×2 可以表示正确，因为指数e还可以用，乘以2仅仅需要指数e加一，而不影响分数f。所以乘以2的幂不是问题，只要分数f没有超过上限，那为什么2加2⁵³也可以表示正确，1却不可以呢，我们扩大一下之前的，加上53 和54位来看看。

	54	53	52	51	50	...	2	1	0	(bits)
p=54	1	f51	f50	f49	f48	...	f0	0	0
p=53		1	f51	f50	f49	...	f1	f0	0
p=52			1	f51	f50	...	f2	f1	f0

看p=53的那一行，它应该是一个JavaScript数字，53位设置成了1，但是因为它的分数f只有52位，而0位必须位0，而只有2⁵³ ≤ x < 254中的偶数数字x可以被表示。在p=54时，这个空间增加到乘以4，在 2⁵⁴ ≤ x < 255: 中。

> Math.pow(2, 54)
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 1
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 2
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 3
18014398509481988
> Math.pow(2, 54) + 4
18014398509481988

6. IEEE 754 的例外

IEEE 754标准描述了5中例外 ， 当出现这些例外，就无法算出准确的数字。

1. 无效 : 进行一个无效操作。例如，给一个负数开平方，返回NaN

> Math.sqrt(-1)
NaN

2. 除以0 : 返回正或者负的infinity(无穷大)

> 3 / 0
Infinity
> -5 / 0
-Infinity

3. 溢出(overflow) : 结果太大，无法表示。这时是指数已经太大， (p ≥ 1024).根据标志位，正或者负溢出，返回正或者负的infinity（无穷大）。

> Math.pow(2, 2048)
Infinity
> -Math.pow(2, 2048)
-Infinity

4. 潜流（underflow): 结果太接近于0，这时是指数已经太小(p ≤ −1023). 返回一个非规范化的数字，或者0.

> Math.pow(2, -2048)
0

5. 不精确（Inexact）: 一个操作返回不精确的结果 - 有太多有意义的数字需要分数f去存，那就返回一个四舍五入的结果

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
    
> 9007199254740992 + 1
9007199254740992

上面的第三点和第四点是关于指数的，第五点是关于分数f的，第三点和第五点的差别非常小，第五点的第二个例子，我们已经接近了分数f的最大值（这也可以算是一个溢出操作）。但根据 IEEE 754只有超过了指数的范围才算溢出。

7. 结论

本篇文章中，我们观察了JavaScript是怎样把浮点数存进64位中的。它之所以这么做是根据 IEEE 754 标准中的双精度。因为我们常常忘记，JavaScript对于分母质因分解不仅包含2的数字 是无法精确表示的。比如0.5（1/2），是可以精确表示的，但0.6（3/5）就不能。我们很容易忘记一个整数是由标志位，分数f，指数3部分组成，然后就会面对Math.pow(2, 53) + 2 可以计算正确，而Math.pow(2, 53) + 1会计算错误的问题。

8. 资源和引用

• “IEEE Standard 754 Floating-Point” - Steve Hollasch.
• “Data Types and Scaling (Fixed-Point Blockset)” in the MATLAB documentation.
• “IEEE 754-2008” on Wikipedia

本文也同时是JavaScript 数字系列 , 它包含:

1. JavaScript中的数字显示
2. JavaScript中的NaN 和 Infinity
3. JavaScript的两种0