经典算法：位图排序

最近发现一个有趣的排序算法，通过位图来完成排序。位图排序其实就是基数排序，只不过位图排序的下标是比特位。

问题描述

输入：一个最多包含n个正整数的文件，每个数都小于n，其中n=10^7。如果在输入文件中有任何正数重复出现就是致命错误。没有其他数据与该正数相关联。

输出：按升序排列的输入正数的列表。

约束：最多有1MB的内存空间可用，有充足的磁盘存储空间可用。运行时间最多几分钟，运行时间为10秒就不需要进一步优化。

一种解决方法是把整个文件分成 40 份，每份 250000 个整数，一个整形占 4 字节，刚好可以在 1MB 的空间里操作。在第一趟遍历中，将大小为 0 至 249999 之间的任何整数都读入内存中，并对这 250000 个整数进行排序，写到输出文件中。第二趟遍历排序 250000 至 499999 之间的整数，依此类推，到第 40 趟结束，我们已经完成了排序。这种排序的代价是要读取输入文件 40 次。

而另一种解决方法就是使用位图排序。

位图排序

一般编程语言的 int 类型所占空间大于等于 4 字节，共 32 位。我们可以用这 32 位来表示 0 到 31 的的数字。假设有一个集合为 {0, 3, 5}，在位图里表示就是 0000101001 ，这里省去了前面 22 个 0 。

一个 32 位的 int 数可以表示 32 个数字。假设总共有 100 个数，我们只需 (100/32)+1=4 个 int 整数就可以表示这 100 个数，0~31 储存在第 1 个 int 数，32~63 储存在第 2 个 int 数。

这样，存储所有数值需要的 int 个数为 10^7 / 32 = 312500, 需要总内存为312500 * 4 / 1024 / 1024 = 1.25M, 1M内存限制跑两趟就可以完成排序。

位图排序实现

我们可以用 3 个函数来实现位图。

函数1：将所有的位都置为0，从而将集合初始化为空。

函数2：通过读入文件中的每个整数来建立集合，将每个对应的位置都置为 1。

函数3：检验每一位，如果该为为1，就输出对应的整数。

位图操作类

class BitMap:
    # maxval        最大值
    # bitsperword   一个int数的位数
    # shift         能表示 bitsperword 需要的位数, 5 位可以表示 32 这个数
    # mask          能表示 bitsperword 需要的位数，用二进制表示
    def __init__(self, maxval, bitsperword=32, shift=5, mask=0b11111):
        self.bitsperword = bitsperword
        self.shift = shift
        self.mask = mask
        # 初始化位图，相当于函数1
        self.x = [0 for i in range(1 + int(maxval / bitsperword))]

    def set(self, i):
        # i>>self.shift 操作等同于 i 除于 2^self.shift
        # i & self.mask 操作等同于 i 对 2^self.shift 求余
        # 1 << n 等同于 1 * 2^n
        self.x[i >> self.shift] |= (1 << (i & self.mask))

    # 如果某位上有数，就返回 true
    def test(self, i):
        return self.x[i >> self.shift] & (1 << (i & self.mask))

设置

>>> bit = BitMap(500)
>>> bit.x
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

>>> bit.x
[2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
# self.x[0] 的二进制为 10

>>> bit.set(4)
>>> bit.x
[18, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
# self.x[0] 的二进制为 10010

输出位对应的值

>>> print (bit.test(1))
2

排序实现

def bitSort(lists, maxval):
    sortLists = []
    bit = BitMap(maxval)
    for val in lists:
        bit.set(val)
    for i in range(maxval):
        if bit.test(i):
            sortLists.append(i)
    return sortLists

排序测试

>>> lists = [5, 2, 6, 8, 10, 22, 25, 44, 29, 36, 40, 3, 4, 1, 20, 27, 37]
>>> print (bitSort(lists, max(lists)))
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 22, 25, 27, 29, 36, 37, 40]

位图操作的优点非常明显，内存占用非常低，非常适合在内存有限时使用。

完整代码

#!/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-


class BitMap:
    # maxval        最大值
    # bitsperword   一个int数的位数
    # shift         能表示 bitsperword 需要的位数, 5 位可以表示 32 这个数
    # mask          能表示 bitsperword 需要的位数，用二进制表示
    def __init__(self, maxval, bitsperword=32, shift=5, mask=0b11111):
        self.bitsperword = bitsperword
        self.shift = shift
        self.mask = mask
        # 初始化位图，相当于函数1
        self.x = [0 for i in range(1 + int(maxval / bitsperword))]

    def set(self, i):
        # i>>self.shift 操作等同于 i 除于 2^self.shift
        # i & self.mask 操作等同于 i 对 2^self.shift 求余
        # 1 << n 等同于 1 * 2^n
        self.x[i >> self.shift] |= (1 << (i & self.mask))

    # 如果某位上有数，就返回 true
    def test(self, i):
        return self.x[i >> self.shift] & (1 << (i & self.mask))


def bitSort(lists, maxval):
    sortLists = []
    bit = BitMap(maxval)
    for val in lists:
        bit.set(val)
    for i in range(maxval):
        if bit.test(i):
            sortLists.append(i)
    return sortLists


if __name__ == '__main__':
    lists = [5, 2, 6, 8, 10, 22, 25, 44, 29, 36, 40, 3, 4, 1, 20, 27, 37]
    print (bitSort(lists, max(lists)))

参考: 编程珠玑