Float的基本介绍

关于浮点数，为什么它生来就可能存在误差？带着好奇查阅了一些介绍，然后做了简单汇总。这只是一段知识的开始，后续还会继续完善。(很难过，这里的MarkDown不支持编辑公式。请移驾本人的博客地址：http://neojos.com )

—— 荡荡上帝，下民之辟。疾威上帝，其命多辟。天生烝民，其命匪谌。靡不有初，鲜克有终。

Floating-point represent

浮点数在计算机中是如何表示的？因为它有小数点，那么小数点后面的数，该如何用二进制来表示呢？我们都知道，浮点数本身就存在误差，在工作中，你所使用的float都是一个近似数。这又是什么原因导致的呢？

1. Fixed-point

fixed-point 是将bit位拆分成固定的两部分：小数点前的部分和小数点后的部分。拿32 bit的fixed-point表示举例，可以将其中的24 bit用于表示整数部分，剩余的8 bit表示小数部分。

假如要表示1.625，我们可以将小数点后面的第一个bit表示$\frac12$，第二个bit表示1/4，第三个1/8一直到最后一个1/256。最后的表示就是00000000 00000000 00000001 10100000。这样其实也好理解，因为小数点前是从$2^0$开始向左成倍递增，小数点后从$2^{-1}$开始向右递减。

因为小数点后面的部分始终小于1，上面这种表达方式能表达的最大数是255/256。再比这个数小，这种结构就无法表示了。

Floating-point basics

根据上面的思路，我们用二进制表达一下5.5这个十进制数，转化后是$101.1_{(2)}$。继续转换成二进制科学计数法的形式：$1.011_{(2)} * 2^2$。在转换的二进制科学计数法过程中，我们将小数点向左移了2位。就跟转换十进制的效果一样：$101.1_{(10)}$ 的科学计数形式为$1.011 * 10^2$。

对于二进制科学计数法表达的5.5，我们将其拆分成2部分，1.011是一部分，我们称为mantissa。指数2是另一部分，称为exponent。下面我们要将$1.011_{(2)} * 2^2$ 映射到计算机存储的8 bit结构上。

我们用第一个bit来表示正负符号，1表示负数，0表示正数。紧接着的4 bit用来表示exponent + 7后的值。 4 bit最大可以表示到15，这也就意味着当前的exponent不能超过8，不能低于-7。最后的3 bit用于存储mantissa的小数部分。你可能有疑问，它的整数部分怎么办呢？这里我们约定整数部分都调整成1，这样就可以节省1 bit了。举个例子，如果要表示的十进制数是0.5，那么最后的二进制数不是$0.1_{(2)}$，而是$1.0 * 2^{-1}$。最后表示的结果就是：0 1001 011。

再来一个decode的例子，即将0 0101 100还原回原始值。根据之前的描述0101表示的十进制是5，所以exponent = -2，表示回二进制科学计数法的结果：$1.100 * 2^{-2} = 0.011_{(2)}$。我们继续转换成真实精度的数：0.375。

最后可以看在，如果mantissa的长度超过3 bit表示的范围，那么数据的存储就会丢失精度，结果就是一个近似值了。

1. Representable numbers

继续按照上面的思路，现在8 bit的浮点表示能表示的数值区间更大。

要表示最小正数的话，sign置为0，接下来的4 bits置为0000，最后的mantissa也置为000。那么最终的表示结果就是：$1.000_{(2)} * 2^{-7} = 2^{-7} ≈ 0.0079_{(10)}$。

表示最大正数的话，sign置为0，其他位也都置为1。最终表示的结果：$1.111_{(2)} * 2^{8} = 111100000_{(2)} = 480_{(10)}$。所以8 bits浮点表示的正数范围(0.0079, 480]。而8 bits 二进制表示的范围是[1, 127]。范围确实大了很多。

但是必须注意：浮点数无法准确表示该区间内的所有数。拿十进制51来说，用二进制表示是110011。转化为8 bits的浮点数表示：$110011_{(2)} = 1.10011_{(2)}*2^{5}$。当我们试着去存储的时候，发现3 bits的mantissa放不下现在的10011。我们不得不做近似取值，将结果修改为$1.101_{(2)} * 2^{5} = 110100_{(2)} = 52_{(10)}$。所以，在我们8 bits 表达的浮点数中51 = 52。这样的处理有时候让我们很无奈，但这也是为了让8 bits表示更大范围的数所必须付出的代价。

从上面的过程中，我们还可以理解在计算中round up和round down的策略。当小数点后的数超过3 bit时，就是展现这个策略的时候。拿19举例，表示成二进制科学计数法：$1.0011 * 2^4$。如果执行round up，最终的结果就是$1.010_{(2)} * 2^4 = 20_{(10)}$。如果执行round down，结果便是$1.001_{(2)} * 2^4 = 18$。

如果我们要提高浮点数表达的精度，mantissa区间就需要更多的bit来表示。拿float32来举例，它是1 bit的sign，8 bits的exponent以及23 bits表示的mantissa。

IEEE standard

该标准定义了更长的bit来提高表达的精度和范围。

1. IEEE formats

它定义了上面描述的sign、exponent、mantissa以及excess(就是8 bits表示过程中用到的7)。

	sign	exponent	mantissa	exponent	significant
format	bit	bits	bits	excess	digits
Our 8-bit	1	4	3	7	1
Our 16-bit	1	6	9	31	3
IEEE 32-bit	1	8	23	127	6
IEEE 64-bit	1	11	52	1,023	15
IEEE 128-bit	1	15	112	16,383	34

2. 非数值

顾名思义：not a number，程序中偶尔会看到的NaN。比如0/0、∞ + −∞等。这类数值在表示中exponent都是1。

3. 运算

讨论 x + (y + z) 和 (x + y) +z的结果是否相同，拿上面8 bits的浮点数表示来说明。其中x=1，y=52，z= -52。我们注意到y+z = 0，所以第一个计算结果是1。但(x+y)的结果仍然是52，这主要是因为mantissa无法表示，导致最终结果取近似值还是52，最终结果是0。

另外一个例子：1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1等式也是不存在的。在8 bits的表示中无法准确的表示1/6，所以最终的结果要比1小。

在程序开发过程中，我们必须意识到这类问题产生的影响。

float to float

Round返回最近的整数，但返回值是一个float64类型。返回值是四舍五入后的结果。

a := math.Round(12.3456)
//output: 12

相对应的函数，还有Floor和Ceil

// Floor returns the greatest integer value less than or equal to x.
// output: 12
a := math.Floor(12.3456)

// Ceil returns the least integer value greater than or equal to x.
// output: 13
a := math.Ceil(12.3456)

match/big

关于浮点数的比较：

// change these value and play around
float1 := 123.4568
float2 := 123.45678

// convert float to type math/big.Float
var bigFloat1 = big.NewFloat(float1)
var bigFloat2 = big.NewFloat(float2)

// compare bigFloat1 to bigFloat2
result := bigFloat1.Cmp(bigFloat2)

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参考文章：

1. Golang : Compare floating-point numbers
2. Floating-point representation
3. Floating Point Numbers