减小时间复杂度——欧拉的37%法则

前段时间, 我兄弟背着我偷偷脱单了......他爹妈说神马现在该好好学习乱七八糟的......

忽想起37%法则, 遂与诸君分享:

我们可能都听过掰玉米的哲学故事: 一片玉米地, 你需要从里面摘一个最大的玉米。但只能摘一次, 而且不能回头。

你第一次走进玉米地, 发现很多大玉米, 很快摘下了你看到的第一个比较大的玉米棒子, 然后继续往前走, 然而越走越失望, 你沮丧地发现前面还有很多比你手里的大得多的玉米棒子。但是你已经不能够选择了。这种选择, 名字叫“后悔”。

你第二次走进玉米地, 同样也发现了很多很好的玉米棒子, 但是这一次你吸取“后悔”的教训——前面一定有更好的。你一直向前走, 直到发现自己差不多走出了玉米地。按照规则, 你回不去了。就这样, 你错过了最好的玉米棒子。这种选择, 名字叫“错过”。

这个问题, 不正是我们面临的择偶, 找工作等抉择问题简化版吗？

谁都不想"后悔", 谁也不想"错过", 我们该选择何种策略去优化我们的生活呢？

数学家欧拉前辈, 给出了一个重要的数字:37%

也就是说:
对于选择玉米棒子的问题, 要按数字37%将玉米地分成两个阶段:

前37%的路程为第一阶段。在这个阶段, 你只看不选, 就是认真观察比较这个阶段最大的玉米棒子, 记住那个玉米棒子的大小。

等过了37%, 进入第二阶段。从这个阶段开始, 你一旦遇到一个比第一阶段那个最大的玉米棒子还要大的玉米, 或者差不多大的玉米, 就毫不犹豫地选择它。

分两个阶段这个策略和37%这个数字, 或许又是数学家欧拉某次旅行时算出来的, 这实际上是一个随机选择优化问题——这个办法叫37%法则。

37%的规则并不能保证你一定能选择到最大的玉米, 因为在这片玉米地里, 玉米棒子大小是随机出现的。在这种随机出现的情况下, 它是一个能够选到一个足够大玉米的好办法。

从概率的角度来讲
如果你看了不到37%的玉米就开始选择, 你将来很可能会后悔
如果你看了超过37%的玉米才开始选, 你将来可能会错过

我们来看下37%的求解过程:

问题提出:

假设这片玉米地有n个玉米
数学模型上说
就是先拒掉前面 k 个玉米(不去管这些玉米有多大)
然后从第 k+1 个玉米开始, 一旦看到比之前所有玉米都要大的, 就毫不犹豫地选择它

不难看出, k 的取值很讲究, 太小了达不到试的效果, 太大了又会导致真正可选的余地不多了。
这就变成了一个纯数学问题: 在玉米总数 n 已知的情况下, 当 k 等于何值时, 按上述策略选中最大玉米的概率最大？

如何优雅地求出最优的 k 值？

设 k是定值, 如果最适合的玉米出现在了第 i 个位置, k的概率记作P(k)。

$$ p(k)=\sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{k}{i-1}=\frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1} $$

令x表示 k/n 的值, 并且假设n充分大, 则上述公式为:

$$ P(k)=x\int\nolimits_1^x \frac{1}{t} dt=-x*lnx $$

对 -x·lnx 求导, 并令这个导数为 0, 可以解出 x 的最优值, 它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e ！

由于 1/e 大约等于 0.37(e ≈2.718281828459), 因此这条法则也叫做 37% 法则。

现在, 你知道了37%法则是你作为一个理性的人在这个不确定的世界中所能做的最佳策略, 那么你可以无怨无悔, 没有那么多纠结和痛苦了。

比如买房子和择偶, 都可以应用37%法则。

对于买房子, 这个问题的条件如下：

你随机遇到各种房子, 但你只打算买一个。
遇到一个房子, 如果你买下来, 这个房子就是你的。
如果你选择不买, 很快别人就会把它买走, 你没有第二次机会。
你应该给自己设定一个看房总数的限度, 或者一个时间期限。(比如在一个月内一定要买到房子)

根据37%法则, 将一个月时间分为两个阶段。前11天为第一阶段, 这个阶段只看不买, 了解市场上的情况, 你喜欢和不喜欢的房子。这个阶段你一定要记住你最满意的房子。

等从第12天开始, 你一旦遇到一个比第一阶段那个最满意的房子要好, 或者类似的, 就要毫不犹豫买下来。

对于择偶, 同样可以运用37%法则。比如, 一个女性从20岁开始找对象, 设定的目标是30岁之前结婚, 那么根据37%法则, 两个阶段的分割点就在23.7岁。

在20岁到23.7岁之间是观察期, 只交往不结婚, 但是必须记住在交往的男生中最喜欢的那一个。23.7岁之后是决策期, 一旦遇到一个比那个人还好或者差不多好的男生, 就应该选择和他结婚。

但是对于择偶, 这个数学模型会更复杂, 因为假定的是你选择他, 他就必须答应。实际生活中可能不会如此, 如果有被拒绝的可能性, 那么分割点就不是37%。

假设被拒绝的可能性是一半, 那么要把37%变成25%。也就是说, 条件不好的人要缩短观察期。

如果你的条件非常好, 就算一开始你错过了一个人, 过了一段时间去找他, 他还有可能答应你的话, 那么你的观察期应该延长。假设这个同意的可能性是一半, 那么你可以把观察期延长到61%。

总的来说, 条件好就多等等, 不要急于决定；条件差就赶紧行动。数学模型计算的结果, 跟我们的常识是相符合的。

这个37%法则, 说的是面对一个不确定的世界, 在你根本不知道命运会怎样的情况下, 所能采取的最佳策略。

在生活中, 很多人就败在不知道什么时候停止选择。理性的人, 应该知道什么时候停止。因为, 当选择之后更重要的是去经营我们的选择。

但我是个感性的人。。。。。。

祝诸位找到自己玉米棒: