质因子分解的问题就是给定一个n使得n能够分解为多个因子的乘积形式,并且相同因子用指数形式表示;
例如180=2^23^25;
对于这个问题,很好理解,我们的目的就是寻找其因子,通常的方法也就是从0开始枚举,然后通过取模或者整除操作来看是否是我们需要的元素;
具体的思路如下所示:
我们首先建立一个结构体:
struct factor{
int x;
int cnt;
}fac[10];
这里为每一个符合条件的因子创立一个结构体,fac数组是当前该数字所有因子存储数组;
结构体内x代表当前的因子,cnt代表当前因子出现的个数;
这里开10的目的是如果开更大会导致int溢出,并没有什么必要;
接下来就是计算部分;
我们对1~sqrt(n)挨个进行枚举;这里借鉴了寻找判定素数的概念,因为如果k存在,为n的质因子,对于n/k*n来说,其也是n的质因子,我们的目的是寻找最小质因子,所以只需要枚举到sqrt(n)就可以;
接下来要注意理解一个质因子分布的问题;
对于我们枚举到sqrt(n),必然会出现两种情况:
1.所有质因子都在sqrt(n)的枚举范围内;
2.有一个质因子大于sqrt(n),但其余的说有质因子都在sqrt(n)范围内,并且该较大的质因子必为素数;
我们该怎么理解这个问题,第一条很好理解,显然成立,那么第二条必然成立吗?
会不会有两个数字斗大于sqrt(n),并且这两个既可能是合数有可能是素数?
首先,不可能有两个质因子大于sqr(n),这样会导致乘积大于n,所以不符合初始条件;
那么剩下的质因子一定为素数嘛?
如果这个质因子是合数,则说明可以分解,必定可以分为多个较小质因子的乘积,或者多个数和一个素数的乘积;
所以无论那种情况,都是两种情况中的一个;
所以接下来我们通过枚举,对一个质因子猛除,记录他的出现次数,如果有余数,进行下一个数字的枚举猛除;直到到达sqrt(n)边界,如果还是有余数,则说明有第二个条件发生,有个较大的质因子,所以直接记录,因为这个质因子只可能出现一次,如果多次会使得乘积大于n;
大致的判断逻辑如下所示:
for(int i=0;i<sqrt(n);i++){
if(n%prime[i]==0){
fac[num].x=prime[i];
fac[num].cnt=0;
while(n%prime[i]==0){
fac[num].cnt++;
n/=prime[i];
}
num++;
}
}
if(n!=1){
fac[num].x=n;
fac[num++].cnt=1;
}
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