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在计算机科学中,一个图就是一些顶点的集合,这些顶点通过一系列边结对(连接)。顶点用圆圈表示,边就是这些圆圈之间的连线。顶点之间通过边连接。

注意:顶点有时也称为节点或者交点,边有时也称为链接。

一个图可以表示一个社交网络,每一个人就是一个顶点,互相认识的人之间通过边联系。

理论上,图就是一堆顶点和边对象而已,但是怎么在代码中来描述呢?
有两种主要的方法:邻接列表和邻接矩阵。

邻接列表:在邻接列表实现中,每一个顶点会存储一个从它这里开始的边的列表。比如,如果顶点A 有一条边到B、C和D,那么A的列表中会有3条边

clipboard.png

邻接列表只描述了指向外部的边。A 有一条边到B,但是B没有边到A,所以 A没有出现在B的邻接列表中。查找两个顶点之间的边或者权重会比较费时,因为遍历邻接列表直到找到为止。

邻接矩阵:在邻接矩阵实现中,由行和列都表示顶点,由两个顶点所决定的矩阵对应元素表示这里两个顶点是否相连、如果相连这个值表示的是相连边的权重。例如,如果从顶点A到顶点B有一条权重为 5.6 的边,那么矩阵中第A行第B列的位置的元素值应该是5.6:

clipboard.png

往这个图中添加顶点的成本非常昂贵,因为新的矩阵结果必须重新按照新的行/列创建,然后将已有的数据复制到新的矩阵中。
所以使用哪一个呢?大多数时候,选择邻接列表是正确的。下面是两种实现方法更详细的比较。
假设 V 表示图中顶点的个数,E 表示边的个数。

clipboard.png

“检查相邻性” 是指对于给定的顶点,尝试确定它是否是另一个顶点的邻居。在邻接列表中检查相邻性的时间复杂度是O(V),因为最坏的情况是一个顶点与每一个顶点都相连。
在 稀疏图的情况下,每一个顶点都只会和少数几个顶点相连,这种情况下相邻列表是最佳选择。如果这个图比较密集,每一个顶点都和大多数其他顶点相连,那么相邻矩阵更合适。


了解了图的基本定义后我们来看下如何用es6的类class思想来实现图类


首先我们先定义两个辅助类

class Dictionary {
  constructor () {
    this.items = {}
  }

  has (key) {
    return key in this.items
  }

  set (key, val) {
    this.items[key] = val
  }

  delete (key) {
    if (this.has(key)) {
      delete this.items[key]
      return true
    } else {
      return false
    }
  }

  get (key) {
    return this.has(key)? this.items[key] : undefined
  }

  values () {
    let values = []
    for (let k in this.items) {
      if (this.has(k)) {
        values.push(this.items[k])
      }
    }
    return values
  }
}

class Queue {
  constructor () {
    this.items = []
  }

  enqueue (element) {
    this.items.push(element)
  }

  dequeue () {
    return this.items.shift()
  }

  isEmpty() {
    return this.items.length === 0
  }
}
Dictionary 字典类来辅助存贮键值对
Queue 队列类来存贮队列
//定义class Graph
class Graph {
  constructor () {
    this.vertices = []
    this.adjList = new Dictionary()
  }
}
定义Graph类并且在构造函数里初始化字段
vertices 存储点信息
adjList 存储顶点间的链接关系
  addVertex (v) {
    this.vertices.push(v)
    this.adjList.set(v, [])
  }

  addEdge (v, w) {
    this.adjList.get(v).push(w)
  }
addVertex 添加顶点的方法,存贮在数组vertices,并且初始化adjList字典里的值
addEdge 添加单向边 接收两个值 在邻接字典里加上从第一个顶点到第二个的关系

到这 一个基本的类就完成了,我们可以通过测试代码来测试

et graph = new Graph()
let mv = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I']
mv.map(val => {
  graph.addVertex(val)
})
graph.addEdge('A', 'B')
graph.addEdge('A', 'C')
graph.addEdge('A', 'D')
graph.addEdge('C', 'D')
graph.addEdge('C', 'G')
graph.addEdge('D', 'G')
graph.addEdge('D', 'H')
graph.addEdge('B', 'E')
graph.addEdge('B', 'F')
graph.addEdge('E', 'I')

得到的图

clipboard.png

下面我们来定义一个功能来打印图

  toString () {
    let s = ''
    for (let i = 0; i < this.vertices.length; i++) {
      s += this.vertices[i] + '->'
      let neighbors = this.adjList.get(this.vertices[i])
      for (let j = 0; j < neighbors.length; j++) {
        s += neighbors[j] + ' '
      }
      s += '\n'
    }
    return s
  }
执行文件 node graph.js

得到结果

A->B C D 
B->E F 
C->D G 
D->G H 
E->I 
F->
G->

好到这就基本完成类的结构了,下面进行图的遍历

广度优先 - 数据结构 队列

先上代码

  BFS (v, callback) {
    let color = this.initializeColor(),
        queue = new Queue()
    queue.enqueue(v)

    while (!queue.isEmpty()) {
      let u = queue.dequeue(),
          neighbors = this.adjList.get(u)
      color[u] = 'grey'
      neighbors.map(val => {
        if (color[val] === 'white') {
          color[val] = 'grey'
          queue.enqueue(val)
        }
      })
      color[u] = 'black'
      if (callback) {
        callback(u)
      }
    }
  }

基本思想如下
1.初始化各个顶点的颜色(白色 - 未访问; 灰色 - 已发现; 黑色 - 已经探索完)
2.初始化一个队列
3.首先队列入顶点 v
4.如果队列不会空,则取队列第一个进行探索
5.探索过程中获取当前顶点的所有邻接顶点,并推进队列
6.完成5后,标记当前为黑色

图示例
A 探索 队列入 B - C - D
完成 A探索
出B 探索B 队列再入 E - F 当前 CDEF
完成 B探索
出C 探索 队列再入 G 当前DEFG
。。。

直到所有顶点探索完

clipboard.png

深度优先 - 数据结构 栈

先上代码

  DFS (callback) {
    let color = this.initializeColor()
    this.vertices.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        this.dfsVisit(val, color, callback)
      }
    })
  }

  dfsVisit (u, color, callback) {
    color[u] = 'grey'
    if (callback) {
      callback(u)
    }
    let neighbors = this.adjList.get(u)
    neighbors.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        this.dfsVisit(val, color, callback)
      }
    })
    color[u] = 'black'
  }
深度优先的原则以栈为数据结构

基本思想如下
1.初始化各个顶点的颜色(白色 - 未访问; 灰色 - 已发现; 黑色 - 已经探索完)
2.对顶点进行遍历并进行dfsVisit函数探索
3.优先进行最新探索的边进行深度探索,完成后标记探索完成

基本步骤如下
探索A
发现BCD
探索B
发现EF
探索E
发现I
探索I,完毕 标记I为以探索
回到上个分支遍历接着执行探索F
完成
标记F为以探索
。。。
直到返回到顶点A

完成探索

具体还有PLus版的深度和广度优先的算法,具体代码奉上

/*
* @Author: koala_cpx
* @Date:   2019-01-24 10:48:01
* @Last Modified by:   koala_cpx
* @Last Modified time: 2019-01-24 10:56:33
*/
class Dictionary {
  constructor () {
    this.items = {}
  }

  has (key) {
    return key in this.items
  }

  set (key, val) {
    this.items[key] = val
  }

  delete (key) {
    if (this.has(key)) {
      delete this.items[key]
      return true
    } else {
      return false
    }
  }

  get (key) {
    return this.has(key)? this.items[key] : undefined
  }

  values () {
    let values = []
    for (let k in this.items) {
      if (this.has(k)) {
        values.push(this.items[k])
      }
    }
    return values
  }
}

class Queue {
  constructor () {
    this.items = []
  }

  enqueue (element) {
    this.items.push(element)
  }

  dequeue () {
    return this.items.shift()
  }

  isEmpty() {
    return this.items.length === 0
  }
}

class Graph {
  constructor () {
    this.vertices = []
    this.adjList = new Dictionary()
    this.time = 0
  }

  addVertex (v) {
    this.vertices.push(v)
    this.adjList.set(v, [])
  }

  addEdge (v, w) {
    this.adjList.get(v).push(w)
    // this.adjList.get(w).push(v)
  }

  BFS (v, callback) {
    let color = this.initializeColor(),
        queue = new Queue()
    queue.enqueue(v)

    while (!queue.isEmpty()) {
      let u = queue.dequeue(),
          neighbors = this.adjList.get(u)
      color[u] = 'grey'
      neighbors.map(val => {
        if (color[val] === 'white') {
          color[val] = 'grey'
          queue.enqueue(val)
        }
      })
      color[u] = 'black'
      if (callback) {
        callback(u)
      }
    }
  }

  BFSPlus (v) {
    let color = this.initializeColor(),
        queue = new Queue(),
        d = [],
        pred = []

    queue.enqueue(v)
    this.vertices.map(val => {
      d[val] = 0
      pred[val] = null
    })

    while (!queue.isEmpty()) {
      let u = queue.dequeue(),
          neighbors = this.adjList.get(u)
      
      color[u] = 'grey'
      neighbors.map(val => {
        if (color[val] === 'white') {
          color[val] = 'grey'
          d[val] = d[u] + 1
          pred[val] = u
          queue.enqueue(val)
        }
      })
      color[u] = 'black'
    }

    return {
      distances: d,
      predecessors: pred
    }
  }

  DFS (callback) {
    let color = this.initializeColor()
    this.vertices.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        this.dfsVisit(val, color, callback)
      }
    })
  }

  DFSPlus () {
    let color = this.initializeColor(),
        d = [],
        f = [],
        p = []

    this.time = 0
    this.vertices.map(val => {
      f[val] = 0
      d[val] = 0
      p[val] = null
    })

    this.vertices.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        this.dfsPlusVisit(val, color, d, f, p)
      }
    })

    return {
      discovery: d,
      finished: f,
      predecessors: p
    }
  }

  dfsPlusVisit (u, color, d, f, p) {
    console.log('discovery' + u)
    color[u] = 'grey'
    d[u] = ++this.time
    let neighbors = this.adjList.get(u)
    neighbors.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        p[val] = u
        this.dfsPlusVisit(val, color, d, f, p)
      }
    })
    color[u] = 'black'
    f[u] = ++this.time
    console.log('explored' + u)
  }

  dfsVisit (u, color, callback) {
    color[u] = 'grey'
    if (callback) {
      callback(u)
    }
    let neighbors = this.adjList.get(u)
    neighbors.map(val => {
      if (color[val] === 'white') {
        this.dfsVisit(val, color, callback)
      }
    })
    color[u] = 'black'
  }

  outPut(obj) {
    let fromVertex = this.vertices[0],
        { predecessors } = obj
    this.vertices.map(val => {
      let path = new Array()
      for (var v = val; v !== fromVertex; v = predecessors[v]) {
        path.push(v)
      }
      path.push(fromVertex)
      let s = path.pop()
      while (path.length !== 0) {
        s += ' -- ' + path.pop()
      }
      console.log(s)
    })
  }

  initializeColor () {
    let color = []
    this.vertices.map(val => {
      color[val] = 'white'
    })
    return color
  }

  toString () {
    let s = ''
    for (let i = 0; i < this.vertices.length; i++) {
      s += this.vertices[i] + '->'
      let neighbors = this.adjList.get(this.vertices[i])
      for (let j = 0; j < neighbors.length; j++) {
        s += neighbors[j] + ' '
      }
      s += '\n'
    }
    return s
  }
}

let a = new Dictionary()
a.set('ss', 1111)
a.set('s1', 1111)
a.set('s2', 1112)
a.set('s3', 1114)

a.delete('s2')
console.log(a.has('s3'))

console.log(a.values())

let graph = new Graph()
let mv = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I']
mv.map(val => {
  graph.addVertex(val)
})
graph.addEdge('A', 'B')
graph.addEdge('A', 'C')
graph.addEdge('A', 'D')
graph.addEdge('C', 'D')
graph.addEdge('C', 'G')
graph.addEdge('D', 'G')
graph.addEdge('D', 'H')
graph.addEdge('B', 'E')
graph.addEdge('B', 'F')
graph.addEdge('E', 'I')

console.log(graph.toString())

function print(val) {
  console.log('vis' + val)
}

graph.BFS('A', print)
console.log(graph.BFSPlus("A"))
graph.outPut(graph.BFSPlus("A"))
graph.DFS(print)
console.log(graph.DFSPlus())

let graph2 = new Graph()
let mv2 = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
mv2.map(val => {
  graph2.addVertex(val)
})
graph2.addEdge('A', 'C')
graph2.addEdge('A', 'D')
graph2.addEdge('B', 'D')
graph2.addEdge('B', 'E')
graph2.addEdge('C', 'F')
graph2.addEdge('F', 'E')

let r = graph2.DFSPlus()
console.log(r)

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