实现简单的正则表达式引擎

回想起第一次看到正则表达式的时候，眼睛里大概都是 $7^(0^=]W-\^*d+，心里我是拒绝的。不过在后面的日常工作里，越来越多地开始使用到正则表达式，正则表达式也逐渐成为一个很常用的工具。

要掌握一种工具除了了解它的用法，了解它的原理也是同样重要的，一般来说，正则引擎可以粗略地分为两类：DFA（Deterministic Finite Automata）确定性有穷自动机和 NFA （Nondeterministic Finite Automata）不确定性有穷自动机。

使用 NFA 的工具包括 .NET、PHP、Ruby、Perl、Python、GNU Emacs、ed、sec、vi、grep 的多数版本，甚至还有某些版本的 egrep 和 awk。而采用 DFA 的工具主要有 egrep、awk、lex 和 flex。也有些系统采用了混合引擎，它们会根据任务的不同选择合适的引擎（甚至对同一表达式中的不同部分采用不同的引擎，以求得功能与速度之间的最佳平衡）。—— Jeffrey E.F. Friedl《精通正则表达式》

DFA 与 NFA 都称为有穷自动机，两者有很多相似的地方，自动机本质上是与状态转换图类似的图。（注：本文不会严格给自动机下定义，深入理解自动机可以阅读《自动机理论、语言和计算导论》。）

NFA

一个 NFA 分为以下几个部分：

• 一个初始状态
• 一个或多个终结状态
• 状态转移函数

上图是一个具有两个状态 q0 和 q1 的 NFA，初始状态为 q0（没有前序状态），终结状态为 q1（两层圆圈标识）。在 q0 上有一根箭头指向 q1，这代表当 NFA 处在 q0 状态时，接受输入 a，会转移到状态 q1。

当要接受一个串时，我们会将 NFA 初始化为初始状态，然后根据输入来进行状态转移，如果输入结束后 NFA 处在结束状态，那就意味着接受成功，如果输入的符号没有对应的状态转移，或输入结束后 NFA 没有处在结束状态，则意味着接受失败。

由上可知这个 NFA 能接受且仅能接受字符串 a。

那为什么叫做 NFA 呢，因为 对于同一个状态与同一个输入符号，NFA 可以到达不同的状态，如下图：

在 q0 上时，当输入为 a，该 NFA 可以继续回到 q0 或者到达 q1，所以该 NFA 可以接受 abb（q0 -> q1 -> q2 -> q3），也可以接受 aabb（q0 -> q0 -> q1 -> q2 -> q3），同样接受 ababb、aaabbbabababb 等等，你可能已经发现了，这个 NFA 表示的正则表达式正是 (a|b)*abb

ε-NFA

除了能到达多个状态之外，NFA 还能接受空符号 ε，如下图：

这是一个接受 (a+|b+) 的 NFA，因为存在路径 q0 -ε-> q1 -a-> q2 -a-> q2，ε 代表空串，在连接时移除，所以这个路径即代表接受 aa。

你可能会觉得为什么不直接使用 q0 通过 a 连接 q2，通过 b 连接到 q4，这是因为 ε 主要起连接的作用，介绍到后面会感受到这点。

DFA

介绍完了不确定性有穷自动机，确定性有穷自动机就容易理解了，DFA 和 NFA 的不同之处就在于：

• 没有 ε 转移
• 对于同一状态和同一输入，只会有一个转移

那么 DFA 要比 NFA 简单地多，为什么不直接使用 DFA 实现呢？这是因为对于正则语言的描述，构造 NFA 往往要比构造 DFA 容易得多，比如上文提到的 (a|b)*abb，NFA 很容易构造和理解：

但直接构造与之对应的 DFA 就没那么容易了，你可以先尝试构造一下，结果大概就是这样：

所以 NFA 容易构造，但是因为其不确定性很难用程序实现状态转移逻辑；DFA 不容易构造，但是因为其确定性很容易用程序来实现状态转移逻辑，怎么办呢？

神奇的是每一个 NFA 都有对应的 DFA，所以我们一般会先根据正则表达式构建 NFA，然后可以转化成对应的 DFA，最后进行识别。

McMaughton-Yamada-Thompson 算法

McMaughton-Yamada-Thompson 算法可以将任何正则表达式转变为接受相同语言的 NFA。它分为两个规则：

基本规则

1. 对于表达式 ε，构造下面的 NFA：
   
2. 对于非 ε，构造下面的 NFA：
   

归纳规则

假设正则表达式 s 和 t 的 NFA 分别为 N(s) 和 N(t)，那么对于一个新的正则表达式 r，则如下构造 N(r)：

并

当 r = s|t，N(r) 为

连接

当 r = st，N(r) 为

闭包

当 r = s*，N(r) 为

其他的 +，? 等限定符可以类似实现。本文所需关于自动机的知识到此就结束了，接下来就可以开始构建 NFA 了。

基于 NFA 实现

1968 年 Ken Thompson 发表了一篇论文 Regular Expression Search Algorithm，在这篇文章里，他描述了一种正则表达式编译器，并催生出了后来的 qed、ed、grep 和 egrep。论文相对来说比较难懂，implementing-a-regular-expression-engine 这篇文章同样也是借鉴 Thompson 的论文进行实现，本文一定程度也参考了该文章的实现思路。

添加连接符

在构建 NFA 之前，我们需要对正则表达式进行处理，以 (a|b)*abb 为例，在正则表达式里是没有连接符号的，那我们就没法知道要连接哪两个 NFA 了。

所以首先我们需要显式地给表达式添加连接符，比如 ·，可以列出添加规则：

左边符号 / 右边符号	*	(	)	并	字母
*	❌	✅	❌	❌	✅
(	❌	❌	❌	❌	❌
)	❌	✅	❌	❌	✅
并	❌	❌	❌	❌	❌
字母	❌	✅	❌	❌	✅

(a|b)*abb 添加完则为 (a|b)*·a·b·b，实现如下：

中缀表达式转后缀表达式

如果你写过计算器应该知道，中缀表达式不利于分析运算符的优先级，在这里也是一样，我们需要将表达式从中缀表达式转为后缀表达式。

在本文的具体过程如下：

1. 如果遇到字母，将其输出。
2. 如果遇到左括号，将其入栈。
3. 如果遇到右括号，将栈元素弹出并输出直到遇到左括号为止。左括号只弹出不输出。
4. 如果遇到限定符，依次弹出栈顶优先级大于或等于该限定符的限定符，然后将其入栈。
5. 如果读到了输入的末尾，则将栈中所有元素依次弹出。

在本文实现范围中，优先级从小到大分别为

• 连接符 ·
• 闭包 *
• 并 |

实现如下：

如 (a|b)*·c 转为后缀表达式 ab|*c·

构建 NFA

由后缀表达式构建 NFA 就容易多了，从左到右读入表达式内容：

• 如果为字母 s，构建基本 NFA N(s)，并将其入栈
• 如果为 |，弹出栈内两个元素 N(s)、N(t)，构建 N(r) 将其入栈（r = s|t）
• 如果为 ·，弹出栈内两个元素 N(s)、N(t)，构建 N(r) 将其入栈（r = st）
• 如果为 *，弹出栈内一个元素 N(s)，构建 N(r) 将其入栈（r = s*）

代码见 automata.ts

构建 DFA

有了 NFA 之后，可以将其转为 DFA。NFA 转 DFA 的方法可以使用 子集构造法，NFA 构建出的 DFA 的每一个状态，都是包含原始 NFA 多个状态的一个集合，比如原始 NFA 为

这里我们需要使用到一个操作 ε-closure(s)，这个操作代表能够从 NFA 的状态 s 开始只通过 ε 转换到达的 NFA 的状态集合，比如 ε-closure(q0) = {q0, q1, q3}，我们把这个集合作为 DFA 的开始状态 A。

那么 A 状态有哪些转换呢？A 集合里有 q1 可以接受 a，有 q3 可以接受 b，所以 A 也能接受 a 和 b。当 A 接受 a 时，得到 q2, 那么 ε-closure(q2) 则作为 A 状态接受 a 后到达的状态 B。同理，A 状态接受 b 后到达的 ε-closure(q4) 为状态 C。

而状态 B 还可以接受 a，到达的同样是 ε-closure(q2)，那我们说状态 B 接受 a 还是到达了状态 B。同样，状态 C 接受 b 也会回到状态 C。这样，构造出的 DFA 为

DFA 的开始状态即包含 NFA 开始状态的状态，终止状态亦是如此。

搜索

其实我们并不用显式构建 DFA，而是用这种思想去遍历 NFA，这本质上是一个图的搜索，实现代码如下：

getClosure 代码如下：

总结

总的来说，基于 NFA 实现简单的正则表达式引擎，我们一共经过了这么几步：

1. 添加连接符
2. 转换为后缀表达式
3. 构建 NFA
4. 判断 NFA 是否接受输入串

完整代码见 github