关于素数的那些事儿

素数

@(算法)

素数简介

质数（prime number）又称素数。
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。还能被其他数（0除外）整除的数为合数。

判断一个数是否是素数
根据定义，除了1和本身之外没有其他约束，
所以判断是否为质数，
根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数。

方法一：暴力破解！

bool isPrime(int num){
    for(int i=2;i<num;i++){
        if(num%i ==0){
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

上述方法，明显存在效率极低的问题。
一个数若可以进行因式分解，那么分解时得到的两个数，一定
是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)

改进：

bool isPrime(int num){
    int t=sqrt(num);
    for(int i=2;i<t;i++){
        if(num%i ==0){
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

方法二：素数筛法

可以提前处理出来1~n 的全体素数

1.把1~n列出来
2.去掉不是特殊的1
3.从小到大，枚举每一个没有删掉的数字i把 i 的2倍，3倍，4倍，...,删掉剩下的没被删掉的都是素数

const int N=100;
int notprime[N];
int main(){
    notprime[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(notprime[i]==0){
            for(int j=i+i;j<N;j=j+i){    ////删掉2*i,3*i,4*i......
                notprime[j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++){
        if(notprime[i]!=1){
            printf("%d\t",i);
        }
    }
    return 0;
}

方法三：欧拉筛法

在素数筛法中，有很多合数被删除多次。而欧拉筛法提供两个数组，一个是素数表，另一个是删除合数表(值为1表示表示不是素数)。

const int N=100;
int notprime[N];    //删除标记,值为1表示表示不是素数
int prime[N];   //素数表
int main(){
    int t=0;  //初始化素数表为空
    notprime[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(notprime[i]==0){     //找到一个没有被删除的数
            prime[t++]=i;       //加入素数表
        }
        for(int j=0;j<t&&prime[j]*i<N;j++){ //枚举素数表
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                break;      //保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<N;i++){
        if(prime[i]!=0){
            printf("%d\t",prime[i]);
        }
    }
}

prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么 prime[j]*i 这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。i%prime[j]==0保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉。

参考
[1]http://www.cnblogs.com/zhuoha...
[2]http://www.cnblogs.com/zhuoha...
[3]https://baike.baidu.com/item/...