力扣(LeetCode)124

题目地址：
https://leetcode-cn.com/probl...
题目描述：

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例 1:

输入: [1,2,3]

       1
      / \
     2   3

输出: 6
示例 2:

输入: [-10,9,20,null,null,15,7]

   -10
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

输出: 42

解答：
这一题，看上去，根本不可能做出来！为什么呢？因为这里的路径和很特别，它可以是从任意点到任意点的路径，搜索我都搜索不出来，按照定义路径可以是从一个叶子到另一个叶子，比如这样：

   -10
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
   

15->20->7,这条路径，怎么搜索？搜索的代码都写不出来！！！
那么只能放弃了。。。
我认为直接求路径和这题是无解的，写不出代码。而这一题我是求别的东西，顺带求出了答案。

但是想一下下面的几个简单问题，这个问题就能做出来了！
(如果跳过这几个简单问题直接看答案，除非你天赋异禀，否则能看懂那你这思维也是没谁了)

二叉树的深度怎么求？

int depth(TreeNode root)
{
if(root == null)return 0;
return 1+Math.max(depth(root.left),depth(root.right));
}

二叉树的深度等于，max(左子树的深度,右子树的深度)+1。

假设二叉树的val字段为int类型。
基于求深度的思想，进阶一下求根节点到叶节点的最大路径和：

int maxSum(TreeNode root)
{
if(root == null)return 0;
 return root.val + Math.max(maxSum(root.left),maxSum(root.right));
}

根到叶的最大路径和等于max(左子树根到叶最大路径和，右子树根到叶最大路径和)+root.val。

现在求，根节点到某一子节点，使得该路径和最大，该子节点可以不是叶子节点，给出最大路径长度。
how？
这个和上面那俩其实是一个原理，给这个函数起个名字叫做"根向下最大延申"
那么算法是：
int temp =max(左子树根向下最大延申，右子树根向下最大延申)。
若temp > 0,则根向下最大延申=root.val+temp,否则根向下最大延申=root.val
代码为：

 int dfs(TreeNode root)
    {
        if(root == null)return 0;
        int left = dfs(root.left);
        int right = dfs(root.right);
        int temp = Math.max(left,right);
        if(temp > 0)
            temp += root.val;
        else
            temp = root.val;

        return temp;
    }

求出上面这个有什么用！！！？？？用处实在是太大了啊啊啊啊啊！！！！！
求出了上面这个，这个问题就基本可解了！！！
为什么呢？
我们这么想，给我任意一个树的节点root，现在给这个"根向下最大延申"函数起个英文名叫做dfs。那么经过这个节点的最大路径和只可能是下面几种情况：
1、
root.val
该节点本身值。
2、
dfs(root.left)+root.val，该节点本身值+左子树向下最大延申。
此时dfs(root.left) > 0 && dfs(root.right) <= 0。
3、
dfs(root.right)+root.val，该节点本身值+右子树向下最大延申。
此时dfs(root.left) <= 0 && dfs(root.right) > 0。
4、dfs(root.left)+dfs(root.right)+root.val
该节点本身值+左右子树向下最大延申。
此时dfs(root.left) > 0 && dfs(root.right) > 0。

上面四种情况包含了经过这个节点的最大路径和的所有可能。
虽然不能求出任意点到任意点的路径和，但是已经可以得到该题的解了！！！
（读者可以想想为什么不求出任意点到任意点的路径和也能求出答案）
因此，对于任意一个节点root，求出经过该节点的最大路径和，然后和全局答案
进行比较，更新全局答案为最大值，就能够求出这一题的答案！！！

java ac代码：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public int maxPathSum(TreeNode root) {
        
        if(root == null)return 0;
        dfs(root);
        return ans;
        
    }
    int ans = Integer.MIN_VALUE;
    //求该点能向下延申的最大值
    int dfs(TreeNode root)
    {
        if(root == null)return 0;
        int left = dfs(root.left);
        int right = dfs(root.right);
        
        int temp = Math.max(left,right);
        if(temp > 0)
            temp += root.val;
        else
            temp = root.val;
        
        int val = root.val;
        if(left >= 0)val += left;
        if(right >= 0)val += right;
        ans = Math.max(ans,val);
        return temp;
    }
}

Amazing！！！
代码如此优美，每个节点只被访问一次，使得时间效率应该也是最优的，并且还能求出答案，真是Unbelievable!
这题还能这么解！！！这题让求最大路径和，实际上是求根节点向下最大延申，而路径和只是顺带着求出来的。

为什么不直接给出答案？这是一道hard的题目，如果不写前面的铺垫直接给出答案，多半是看不懂的。