Louvain 算法原理及设计实现

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本篇为算法系列文章，将为大家分享360的算法团队在实践中积累的算法知识及经验，欢迎大家交流分享~

Louvain算法是一种基于多层次优化Modularity的算法，具有快速、准确的优点，在效率和效果上都表现比较好，并且能够发现层次性的社区结构，被认为是性能最好的社区发现算法之一。

模块度

Louvain算法是一种基于图数据的社区发现算法。
原始论文为：
《Fast unfolding of communities in large networks》。

Louvain算法的优化目标为最大化整个数据的模块度，

模块度的计算如下：
图片描述
其中m为图中边的总数量，k_i表示所有指向节点i的连边权重之和，k_j同理。A_{i,j} 表示节点i，j之间的连边权重。

有一点要搞清楚，模块度的概念不是Louvain算法发明的，而Louvain算法只是一种优化关系图模块度目标的一种实现而已。

Louvain算法的两步迭代设计

最开始，每个原始节点都看成一个独立的社区，社区内的连边权重为0
步骤1
算法扫描数据中的所有节点，针对每个节点遍历该节点的所有邻居节点，衡量把该节点加入其邻居节点所在的社区所带来的模块度的收益。并选择对应最大收益的邻居节点，加入其所在的社区。这一过程化重复进行指导每一个节点的社区归属都不在发生变化。
步骤2
对步骤1中形成的社区进行折叠，把每个社区折叠成一个单点，分别计算这些新生成的“社区点”之间的连边权重，以及社区内的所有点之间的连边权重之和。用于下一轮的步骤1。

该算法的最大优势就是速度很快，步骤1的每次迭代的时间复杂度为O(N)，N为输入数据中的边的数量。步骤2 的时间复杂度为O(M + N)， M为本轮迭代中点的个数。

算法实现

数据结构设计

算法数据结构的设计主要有两方面的考虑：

如何高效地存储图中的节点和节点之间的关系
如何在设计的数据结构上高效地扫描数据、进行算法迭代。

当前一些开源的算法实现主要通过hash表或set的结构来存储节点和节点之间的关系。主要有两个缺点：

维护hash 或集合结构本身就需要不少内存开销
遍历过程中需要不断地创建、销毁、清空对应的Hash 或 Set 结构，尤其是在遍历不同的节点的邻居节点以及社区这点时。

而且，在遍历过程中，结构对元素的访问也并不是严格O(1)的。

出于以上考虑，我们设计一种更高效的数据结构来存储图中的节点和边，避开使用复杂的数据结构，且在算法迭代过程中不申请多余的空间和空间的销毁操作，具体如下：
图片描述

关于节点字段的说明：

count：社区内的节点个数
clsid：节点归属社区的代表节点ID
next：步骤1迭代中下一个属于同一个临时社区的节点
prev：步骤1迭代中上一个属于同一个临时社区的节点
first：属于同一个社区的，除代表节点外的第一个节点，该节点有步骤2 社区折叠的时候生成
kin：稳定社区内部节点之间的互相连接权重之和
kout：稳定社区外部，指向自己社区的权重之和
clskin：临时社区内部节点之间的互相连接权重之和
clstot：稳定社区所有内外部指向自己的连接权重之和
eindex：节点邻居链表的第一个指针，该链表下的所有left，都是本节点自己

关于边数据结构的字段就顾名思义即可。

基于上述结构设计，在给定了一个M个节点，N调边的图所需的空间为：60 M + 24 N.
例如：给定1000万给点，2000万边的数据，则需要空间约为：10000000 60 + 20000000 24 = 1080M.且整个迭代过程中内存环境维持不变。

迭代过程

1、假设我们最开始有5个点，互相之间存在一定的关系（至于什么关系，先不管），如下：
图片描述
2、假设在进过了步骤1的充分迭代之后发现节点2，应该加入到节点1所在的社区（最开始每个点都是一个社区，而自己就是这个社区的代表），新的社区由节点1代表，如下：

此时节点3，4，5之间以及与节点1，2之间没有任何归属关系。