【读书笔记】概率论与数理统计（中）

作者：LogM

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本文为概率论与数理统计的笔记。

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8. 第八周

• 8.1 期望

  • 离散型：$E(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} x_k p_k$
  • 连续型：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$

  • 若 $Y = g(X)$，则：

    • 离散型：$E(Y) = E(g(X)) = \sum_{k=1}^{+\infty} g(x_k)p_k$
    • 连续型：$E(Y) = E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x_k)p_k$

  • 若 $Z = h(X,Y)$，则

    • 二元离散型：$E(Z) = E(h(X,Y)) = \sum_{k=1}^{+\infty} h(x_i,y_j)p(x_i,y_j)$
    • 二元连续型：$E(Z) = E(h(X,Y)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} h(x,y)f(x,y)dxdy$

  • 性质：

    • $E(cX) = cE(X)$，$c$ 为常数
    • $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
    • $E(XY) = E(X)E(Y)$，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立

• 8.2 方差

  • 方差：$D(X) = Var(X) = E\{[X-E(X)]^2\}$
  • 标准差（均方差）：$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
  • 离散型：$D(X) = \sum_{i=1}^{+\infty} [x_i - E(X)]^2 p_i$
  • 连续型：$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x-E(x)]^2 f(x)dx$

  • 性质：

    • $D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$
    • $D(cX) = c^2D(X)$，$c$ 为常数
    • $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
    • $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立

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9. 第九周

• 9.1 协方差

  • $Cov(X,Y) = E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} = E(XY)-E(X)E(Y)$
  • 正相关：$Cov(X,Y)>0$；负相关：$Cov(X,Y)<0$；不相关：$Cov(X,Y)=0$

  • 性质：

    • $Cov(X,X) = D(X)$
    • $Cov(aX,bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$
    • $Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)$

• 9.2 相关系数

  • $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} \in [-1,1]$，没有量纲$
  • $X$ 与 $Y$ 独立，则它们肯定不相关；但不相关不一定是相互独立

  • 不相关指的是线性关系上不相关；相互独立指的是一般关系上的独立

  • 正态分布是特例，两个正态分布的不相关就代表它们相互独立

• 9.3 矩

  • $k$ 阶原点矩：$E(X^k)$
  • $k$ 阶中心矩：$E\{[X-E(X)]^k\}$
  • $k+l$ 阶混合原点矩：$E(X^k Y^l)$
  • $k+l$ 阶混合中心矩：$E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}$
• 9.4 协方差矩阵

• 9.5 $n$元正态随机变量

  • 性质：

    • 它的每一个分量，每一个子向量都服从正态分布
    • 充要条件：各分量任意线性组合后仍服从正态分布
    • 经过线性变换后依然满足正态分布

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10. 第十周

• 10.1 切比雪夫不等式
• 10.2 大数定律

• 10.3 中心极限定理

  • 由大量的相互独立的随机变量综合而成的分布近似服从正态分布

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