【Algorithm·fourth edition】二项分布的递归与非递归实现

原题：

1.1 Basic Programming Model
Creative Problems
1.1.27
Estimate the number of recursive calls that would be used by the code to compute binomial(100,50).Develop a better implementation that is based on saving computed values in an array.

public static double binomial(int N, int k, double p){
    if (N == 0 && k == 0)
        return 1.0;
    if (N < 0 || k < 0)
        return 0.0;
    return (1.0 - p) * binomial(N-1, k, p) + p * binomial(N-1, k-1, p);
}

因为对于递归其实了解得还不算太深刻，所以乍一看到这个code还是有点懵（这和我想象中的二项分布不一样啊xxx
然后去谷歌了一下发现正好有人写了分析这道题的blog
链接在此
主要是对于这个和排列组合有关的递推式不是很了解（就是不知道），所以也看不明白这个递归的code

不过原code来算二项分布真的很灾难，N=10的时候调用次数就有2000+了，按原题给的那个100的数据我IDEA直接就3s之内跑不完了

改进方法

1. 非递归

   • 要算二项分布的话第一反应其实就是直接根据公式来，计算组合数和幂运算
   • 但测试了一下发现，计算组合数需要用到阶乘，N过大算出来的阶乘会overflow，结果为0（用int和long都不可以），所以不能直接算组合数

   • 只要进行一点小小的调整：

     • 组合数写成阶乘的形式时上下是可以约分的，不需要真的算出N的阶乘（如链接中的做法）

2. 递归

   • 根据题目中给的提示“saving computed values in an array”
   • 原链接中有答案
3. 网站上给出的题解（递归思想的非递归写法）

/**
解释：利用的思想仍旧是(n,k) = p * (n-1,k-1) + (1-p) * (n-1,k)
(n,k)指N = n, k = k的情况
理解：想象要在n个人里面挑k个人，假设第k个人被选中了(概率为p)，那么就是(n-1,k-1)的情况，假设第k个人没有被选中(概率为1-p)，那么就是(n-1,k)的情况
*/
public static double binomial2(int N, int k, double p) {
    double[][] b = new double[N+1][k+1];

    // base cases
    // 当k为0时，都为(1-p)^i
    for (int i = 0; i <= N; i++)
        b[i][0] = Math.pow(1.0 - p, i);
    b[0][0] = 1.0;

    // recursive formula
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            // (n,k) = p * (n-1,k-1) + (1-p) * (n-1,k)
            b[i][j] = p * b[i-1][j-1] + (1.0 - p) *b[i-1][j];
        }
    }
    return b[N][k];
}