【算法】Floyd算法求有权图（非负权）的最短路径并打印

状态转移方程：d(i,j) = min(d(i,j),d(i,k)+d(k,j))，其中i<k<j
思路对于每一个k(i<k<j)，全部遍历下来之后，肯定会发生一次有效的比较

public class FloydTest {
  private static int[][] matrix;

  private static int[][] path;

  public static void main(String[] args) {

    initMatrixAndPath(
            new int[][]{
                    {0, 1, 8, 5},
                    {1, 0, 7, 6},
                    {8, 7, 0, 2},
                    {5, 6, 2, 0}}
    );


    floyd(matrix, path);
    printShortDistance();
    printShortDistanceDetail();
  }

  private static void initMatrixAndPath(int[][] matrix) {
    FloydTest.matrix = matrix;
    FloydTest.path = new int[matrix.length][matrix.length];

    for (int i = 0; i < FloydTest.matrix.length; i++) {
      for (int j = 0; j < FloydTest.matrix[i].length; j++) {
        path[i][j] = j;
      }
    }
  }

  private static void floyd(int[][] matrix, int[][] path) {
    for (int k = 0; k < matrix.length; k++) {
      for (int i = 0; i < matrix.length; i++)
        for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
          if (matrix[i][j] > matrix[i][k] + matrix[k][j]) {
            matrix[i][j] = matrix[i][k] + matrix[k][j];
            path[i][j] = path[i][k];
          }
        }
    }


  }

  private static String getNodeName(int nodeIndex) {
    return "v" + nodeIndex;
  }

  private static void printShortDistanceDetail() {
    for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
      for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
        int x = j;
        StringBuilder sb = new StringBuilder("最短路径[v" + i + ",v" + j + "]为:");
        sb.append(getNodeName(x));
        sb.append("<--");
        while (path[i][j] != x) {
          x = path[i][x];
          sb.append(getNodeName(path[i][x]));
          sb.append("<--");
        }
        sb.append(getNodeName(i));

        System.out.println(sb);
      }

    }
  }

  private static void printShortDistance() {
    for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
      for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
        System.out.println("v" + i + "到" + "v" + j + "最短路径为:" + matrix[i][j]);
      }
    }
  }
}

输出结果

v0到v0最短路径为:0
v0到v1最短路径为:1
v0到v2最短路径为:7
v0到v3最短路径为:5
v1到v0最短路径为:1
v1到v1最短路径为:0
v1到v2最短路径为:7
v1到v3最短路径为:6
v2到v0最短路径为:7
v2到v1最短路径为:7
v2到v2最短路径为:0
v2到v3最短路径为:2
v3到v0最短路径为:5
v3到v1最短路径为:6
v3到v2最短路径为:2
v3到v3最短路径为:0
最短路径[v0,v0]为:v0<--v0
最短路径[v0,v1]为:v1<--v0
最短路径[v0,v2]为:v2<--v3<--v0
最短路径[v0,v3]为:v3<--v0
最短路径[v1,v0]为:v0<--v1
最短路径[v1,v1]为:v1<--v1
最短路径[v1,v2]为:v2<--v1
最短路径[v1,v3]为:v3<--v1
最短路径[v2,v0]为:v0<--v3<--v2
最短路径[v2,v1]为:v1<--v2
最短路径[v2,v2]为:v2<--v2
最短路径[v2,v3]为:v3<--v2
最短路径[v3,v0]为:v0<--v3
最短路径[v3,v1]为:v1<--v3
最短路径[v3,v2]为:v2<--v3
最短路径[v3,v3]为:v3<--v3

其他：看了网上的一些关于floyd算法证明的过程。其实最主要的一点，证明当k为遍历的最后一个节点时，d(i,k)+d(k,j)取最小值，d(i,k)和d(k,j)也已经为各自的最小值。网上关于这个的证明文章非常的少，如果有大佬有严谨的证明过程还望不吝赐教。

ps:结合大佬的回答和自己的搜索，找到一篇还不错的证明和原理分析的文章。
https://www-m9.ma.tum.de/grap...