【javascript系列】时间复杂度和空间复杂度

一、前言

时间复杂度和空间复杂度,我们在大学里的算法与数据结构课程中已经学习过,这回根据项目工作中整理一下,这个估计只是一个粗略的估计分析,并不是一个准确的估计分析。

1、学习时间复杂度和空间复杂度是很有必要的,这个属于算法与数据结构的范畴,学这个是为了解决代码中的“快”和“省”的问题。这样才能使你的代码运行效率更高,占用空间更小。代码执行效率需要通过复杂度分析。

2、数据规模的大小会影响到复杂度分析。比如排序,如果是一个有序的数组,执行效率会更高;如果数据量很少的时候,这个算法看不出性能上差别。

3、比如说不同物理机环境不一样,比如i3,i5,i7的cpu等等,运行内存1G,2G,4G,8G等等;时间上肯定有差别。

二、大O的复杂度

我们来看个简单的例子,一个循环累加器。

function total(n) { 
      var sum = 0;   //t
      for (var i = 0; i < n; i++) {   // nt
        sum += i;   //nt
      } 
      return sum;  // t
    } 

分析:假设每一行代码执行耗时都一样,为t,这样整个代码总执行时间为(t+nt+nt+t)=(2n+2)t。

我们再来看一个栗子:

function total(n) { 
      var sum = 0;      // t
      for (var i = 0; i < n; i++) {   //nt
        for (var j = 0; j < n; j++) {     //n*n*t
          sum = sum + i + j;     //n*n*t
        }
      }
      return sum;      //t
    }

分析:假设每一行代码执行耗时都一样,为t,这样整个代码总执行时间为(t+nt+nnt2+t)=(2nn+n+2)t。

从数学角度来看,我们可以得出个规律:代码的总执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比.

所以上边两个函数的执行时间可以标记为 T(n) = O(2n+2) 和 T(n) = O(2n*n+n+2)。这就是大 O 时间复杂度表示法,它不代表代码真正的执行时间,而是表示代码随数据规模增长的变化趋势,简称时间复杂度。

而且当 n 很大时,我们可以忽略常数项,只保留一个最大量级即可。所以上边的代码执行时间可以简单标记为 T(n) = O(n) 和 T(n) = O(n2)。

三、时间复杂度分析

1、循环次数最多的代码块

在分析的时候,只需要关心哪个代码块循环次数最多的那段代码,比如说刚才的第一个例子,循环最多的代码块是这两行,循环都是n次。

for (var i = 0; i < n; i++){
    sum += i;
}

执行了n次,所以事件复杂度就是O(n)。

2、最大值原则:总复杂度等于最大的代码块的复杂度

function total(n) { 
      // 第一个 for 循环
      var sum1 = 0; 
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        for (var j = 0; j < n; j++) {
          sum1 = sum1 + i + j; 
        }
      }
      // 第二个 for 循环
      var sum2 = 0;
      for(var i=0;i<1000;i++) {
        sum2 = sum2 + i;
      }
      // 第三个 for 循环
      var sum3 = 0;
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        sum3 = sum3 + i;
      }
      return {sum1:sum1, sum2: sum2, sum3:sum3}
    }

分别分析每一段循环时间复杂度,取他们最大的量级决定整段代码复杂度。

第一段,时间复杂度 O(n2)。

第二段,时间复杂度可以忽略,循环执行了 1000 次,是个常数量级,尽管对代码的执行时间会有影响,但是当 n 无限大的时候,就可以忽略。

第三段,时间复杂度O(n)。

综上所述,所以上述代码的时间复杂度为 O(n2)。

3、乘法原则:嵌套代码复杂度等于嵌套内外代码复杂度乘积

举个例子:

 function f(i) {
      var sum = 0;
      for (var j = 0; j < i; j++) {
        sum += i;
      }
      return sum;
    }
    function total(n) {
      var res = 0;
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        res = res + f(i); // 调用 f 函数
      }
    }

分析一下:total方法时间复杂度O(n),f方法的时间复杂度O(n)。

所以整段代码的时间复杂度O(n2)。

四、常见的时间复杂度分析

最高量级的复杂度,效率是递减的

image

如上图可以粗略的分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n) 和 O(n!) 对应的增长率如下图所示

image

当数据规模 n 增长时,非多项式量级的执行时间就会急剧增加,所以,非多项式量级的代码算法是非常低效的算法。

1、常数阶复杂度O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度表示法,并不是代码只有一行,举个例子:

function total() {
      var sum = 0;
      for(var i=0;i<100;i++) {
        sum += i;
      }
      return sum;
    }

虽然有这么多行,即使 for 循环执行了 100 次,但是代码的执行时间不随 n 的增大而增长,所以这样的代码复杂度就为 O(1)。

2、对数阶O(logn)和O(nlogn)

(1)对数阶时间复杂度的常见代码如下:

 function total1(n) {
      var sum = 0;
      var i = 1;
      while (i <= n) {
        sum += i;
        i = i * 2;
      }
    }
    function total2(n) {
      var sum = 0;
      for (var i = 1; i <= n; i = i * 2) {
        sum += i;
      }
    }

上面函数total1和total2有一个相同点:变量 i 从 1 开始取值,每循环一次乘以 2,当大于 n 时,循环结束。

所以真正循环了x次。2x =n;,所以 x = log2n。

所以上面两个函数时间复杂度都是 O(log2n)。

(2)我们在举个例子:

 function total1(n) {
      var sum = 0;
      var i = 1;
      while (i <= n) {
        sum += i;
        i = i * 3;
      }
    }
    function total2(n) {
      var sum = 0;
      for (var i = 1; i <= n; i = i * 3) {
        sum += i;
      }
    }

同理可知:这两个函数的时间复杂度为 O(log3n) 。

由于我们可以忽略常数,也可以忽略对数中的底数,所以在对数阶复杂度中,统一表示为 O(logn);那 O(nlogn) 的含义就很明确了,时间复杂度 为O(logn) 的代码执行了 n 次。

3、其他复杂度O(m+n)和O(m*n)

举个例子:

 function total(m,n) {
      var sum1 = 0;
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        sum1 += i;
      }
      var sum2 = 0;
      for (var i = 0; i < m; i++) {
        sum2 += i;
      }
      return sum1 + sum2;
    }

因为我们无法评估 m 和 n 谁的量级比较大,所以就不能忽略掉其中一个,这个函数的复杂度是有两个数据的量级来决定的,所以此函数的时间复杂度为 O(m+n);那么 O(m*n) 的时间复杂度类似。

五、空间复杂度分析

空间复杂度的话和时间复杂度类似推算。 所谓空间复杂度就是表示算法的存储空间和数据规模之间的关系。

举个例子:

function initArr(n) {
      var arr = [];
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = i;
      }
    }

时间复杂度的推算,忽略掉常数量级,每次数组赋值都会申请一个空间存储变量,所以此函数的空间复杂度为 O(n)。

常见的空间复杂度只有 O(1)、O(n)、O(n2)。其他的话很少会用到。

六、复杂度优化

function total(n) {
      var sum = 0;
      for (var i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i;
      }
      return sum;
    }

这段代码我们很容易知道时间复杂度 O(n)。

但是我想把复杂度降一降,降低到常数阶O(1)。

其实求和怎么求呢?等比数列,直接用公式,这就说明了数学好的人,算法应该高level点。

function total(n) {
      var sum = n*(n+1)/2
      return sum;
    }

上面函数的时间复杂度仅仅为 O(1),在数据规模比较庞大的时候,下面的函数是不是明显比上面的函数运算效率更高呢。

七、总结

分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略的表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。

复杂度学习之后,有时候可以避免写出效率低的代码。

阅读 275发布于 7月23日
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