【GIS数学基础】-06圆锥投影

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一. 基本概念

1.1 定义

设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。

1.2 分类

按圆锥面与地球椭球体的相对位置分

  • 正轴圆锥投影
    圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致
  • 横轴圆锥投影
    圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致
  • 斜轴圆锥投影
    圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合, 也不与它的长轴相重合

    图片描述

按变形性质分

  • 等角圆锥投影
    正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影
  • 等面积圆锥投影
    正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影
  • 任意投影
    特例是等距离投影

二. 基本公式

2.1 正轴圆锥的基本公式

极坐标公式为:
图片描述
其中δ表示两条经线夹角在平面上的投影

α表示δ与λ的比值,小于1;λ表示地球椭球体上两经线的夹角。

直角坐标公式为:
图片描述
其中ρs表示制图区域最低纬线的投影半径

在该投影中,经纬线投影后呈正交,故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向

2.2 正等角圆锥投影

基本公式:
根据等角条件 a=b或 m=n,得:
图片描述
将M,N 公式带入上式,并取积分可得:
图片描述

K,α称为投影常数
图片描述
当ϕ=0时,K=ρ,故K的几何意义是赤道的投影半径
正等角圆锥投影的一般公式如下:

clipboard.png

投影常数α,K的确定方法

  1. 单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形
  2. 双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形
  3. 定域等面积正等角圆锥投影:使制图区域各部分面积变形的总和为零,即制图区域总面积和原来的大小保持不变

下图分别对应上述123
图片描述

双标准纬线正等角圆锥投影:
经纬线的表象:其经线表现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈,称为标准纬线(ϕ1,ϕ2)

标准纬线的位置:

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ϕs:制图区域最南边的纬度
ϕN:制图区域最北边的纬度

![图片描述][9]

双标准纬线正等角圆锥投影投影公式:

clipboard.png
其中:

clipboard.png
其他的公式同前。

  1. 角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;
  2. 两条标准纬线上没有任何变形;
  3. 等变形线和纬线一致,同一条纬线上的变形处处相等;
  4. 在同一经线上,两标准纬线外侧为正变形(长度比>1),而两标准纬线之
  5. 为负变形(长度比<1),因此变形较均匀,绝对值也较小;
  6. 同一纬线上等经差的线段长度相等,两条纬线间的经线线段长度处处相等。

图片描述

我国的1:100万地图采用该投影,为了提高精度,1:100万地图的投影按百万之一地图的纬度划分原则—从赤道00开始,纬差40一幅,从南向北共分成15个投影带,每个投影带单独计算,建立数学基础。由于采用分带投影,每带纬度较小,我国范围内的1:100万地图变形值几乎相等,其长度变形最大不超过0.03%,面积变形约为长度变形的2倍

三. 圆锥投影的变形分析及应用

图片描述
在切圆锥投影中,标准纬线ϕ0处的长度比n01,其余纬线长度比均大于1,并向南、北方向增加;

在割圆锥投影中,标准纬线ϕ1ϕ2处长度比n1=n2=1,变形自标准纬线ϕ1ϕ2向内和向外增大,在ϕ1和ϕ2
之间n<1,在ϕ1和ϕ2以外n>1。

【结论】
圆锥投影最适用于中纬度处沿纬线伸展的制图区域


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