吃货如何理解01背包问题

秦圆圆

背包问题


先从栗子出发,你是一个有理想的吃货,你的肚子只能容纳500g 的食物,为了保证你得到的价值(营养)最大化,有以下几份食物可以选择

食物 质量/weight (100g) 价值/value(10g)
米饭 2 4
黄瓜 1 5
西红柿 1 8
牛肉 3 10

动动吃货的小脑筋,就知道,营养价值最大化的选择是
牛肉+黄瓜+西红柿 共 23(10g)营养!
可是该怎么使用程序计算出答案呢?

思路

肚子的资源有限,对每一种食物有两种选择:吃或者不吃。
判断的依据有两点:

(1)肚子能否装得下食物?

(2)吃他的价值,是否比不吃他的价值大?大则吃下,不大则不吃。

假设d(i,w)表示肚子剩w(g)时,有 i 样食物可供选择,我们能得到的最大价值。i 表示第 i 样食物。我们需要求的是d(4,5)

根据上面的逻辑(1)

  • 如果肚子装不下,因为食物i没装进去,那么d(i,w) = d(i-1,w)
  • 肚子装得下,那我需要判断 [不放] d(i-1,w) 和 [放] d(i-1,w-w[i])+v[i] 谁大。

结合上面两条规律,我们得到:

状态转移方程式

d(i, w)=max{ d(i-1, w), d(i-1,w-w[i]) + v[i] }

我们给每样食物加上序号

假如我们考虑吃或不吃从下向上按照序号顺序 4,3,2,1

d(4,5)表示只有牛肉、西红柿、黄瓜、米饭可以选择时,能得到的最大价值。如果我知道d(3,5)和d(3,2),我就能得到d(4,5)

d(4 , 5)=max{ d(3,5) , d(3,5-3) }=max{ d(3,5) , d(3,2) + 10}

d(4,5)表示只有西红柿、黄瓜、米饭可以选择时,能得到的最大价值。如果我知道d(2,5)和d(2,4),我就能得到d(3,5)

d(3 , 5)=max{d(2,5) , d(2,4)}

按照上面的往下分解,最终都会指向d(0,w)~逻辑如下图:

image.png

d(0,w)代表选 0 件物品的放入背包容量为 w 的背包的最大价值,所以为 0。d(i,0)代表选 i 件物品放入背包容量为 0 的背包的最大价值,也为 0。

将树图的d值继续整理得到最优价值表

    var value = [5, 8, 4, 10],
        size = [1, 1, 2, 3],
        d = [],
        n = 4,
        C = 5;
    //初始化数组
    for (var k = 0; k <= n; ++k) {
        d[k] = [];
    }
    for (var i = 0; i <= n; ++i) {
        for (var w = 0; w <= C; ++w) {
            d[i][w] = (i == 0) ? 0 : d[i - 1][w];
            if (i > 0 && w >= size[i - 1])
                d[i][w] = Math.max(d[i - 1][w], d[i - 1][w - size[i - 1]] + value[i - 1]);
        }
    }
    
     console.log(d[4][5])//23

总结

01背包问题的这种解法让我感受到了递归的强大,将大问题转换成小问题,然后得到小问题的答案向上求解!

2. 例题

链接:https://www.nowcoder.com/ques...
来源:牛客网
一种双核CPU的两个核能够同时的处理任务,现在有n个已知数据量的任务需要交给CPU处理,假设已知CPU的每个核1秒可以处理1kb,每个核同时只能处理一项任务。n个任务可以按照任意顺序放入CPU进行处理,现在需要设计一个方案让CPU处理完这批任务所需的时间最少,求这个最小的时间。

3. 资料

动态规划之背包问题(一)

动态规划之01背包问题--表格思路来源

通过金矿模型介绍动态规划

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