数据结构 - 堆

二叉堆

二叉堆是一颗二叉树，不一定是满二叉树，但一定是完全二叉树，完全二叉树指的是允许有缺失的部分，但缺失节点的部分一定是右下侧。

堆中任意一个节点的值一定大于等于他的孩子节点。这个特点也说明了，根节点的元素是最大的元素。这样的堆叫做最大堆，相反如果任意一个节点小于等于他的孩子节点，那就是最小堆。这里要注意：不是越贴近根节点的值就越大。

由于最大堆是完全二叉树，那么最大堆就可以用数组来作为底层实现。如图所示，编号1-10就代表一个数组的索引，或者用0-9也OK。

如果用1-10索引来表示的话，比如41这个元素，索引为2，他的左孩子索引就是4（i x 2） ，右孩子节点就是5 （i x 2 + 1）。
相反，知道左孩子或者右孩子，求父节点直接除2就可以了，4 / 2 ，5 / 2强转为int之后都是2。
如果用0-9索引表示这些元素，已知父亲节点索引为1，左孩子节点就是4（ i x 2 + 1），右孩子节点是5 （i x 2 + 2），知道左孩子或右孩子索引3和4，父节点索引就是1（i - 1）/ 2。

知道了这些特点，开始用代码实现一个最大堆

//使用数组当作底层数据结构
public MyArray<E> myArray;
 
public MaxHeap(int capacity){
    myArray = new MyArray<>(capacity);
}

public MaxHeap(){
    myArray = new MyArray<>();
}

//父节点的索引 (i-1)/2
public int parent(int index){
    if(index == 0)
        throw new IllegalArgumentException("index：0,doesn't hava parent.");
    return (index - 1) / 2;
}

//左孩子节点 i\*2+1
public int leftChild(int index){
    return index \* 2 + 1;
}

//右孩子节点 i\*2+2
public int rightChild(int index){
    return index \* 2 + 2;
}

添加一个节点

添加节点的时候，要满足最大堆的性质需要遵从两点，第一就是要添加到数组末尾的位置，满足完全二叉树的特性。第二就是满足每一个节点要比他的孩子节点要大的特性，52添加到末尾后，要不断的向上寻找父节点，和父节点比较大小后，和父节点元素做交换操作，找到自己合适的位置，我们把这个操作称为ShiftUp（上浮）

public void add(E e){
    myArray.addLast(e);
    shiftUp(myArray.getSize() - 1);
}

private void shiftUp(int index){
    //把当前index的值和父节点的值做比较，小于父节点就向上移动
    while(index > 0 && myArray.getByIndex(index).compareTo(myArray.getByIndex(parent(index))) > 0)
    {
        //对两个索引交换
        myArray.swap(index,parent(index));
        
        //重新标记index位置，用于下次交换逻辑
        index = parent(index);
    }
}

取出根元素

如果想取出根元素62，取出后索引为0的位置就为空了，为了满足最大堆的结构，就需要重新组织这颗二叉树。我们采用将最后一个元素放到根元素的位置，然后再根据这个元素，不断向下去判断自己是不是比两个孩子节点都大，如果大就不需要移动。如果比孩子节点小，就向下挪动，因为有两个孩子，还需要比较这两个孩子谁更大，谁大就和谁交换。这个过程叫做shift down（下沉）。

//取出最大的元素
public E extractMax()
{
    E max = findMax();
    myArray.swap(0,myArray.getSize() - 1);
    myArray.removeLast();
    shiftDown(0);
    return max;
}
//查看一下最大元素是谁
public E findMax()
{
    if(myArray.getSize() == 0)
        throw new IndexOutOfBoundsException("heap is empty.");
    return myArray.getByIndex(0);
}
private void shiftDown(int index) {
    //如果一个元素的左孩子大于了总数量，那么就结束
    while (leftChild(index) < myArray.getSize()) {
        //判断有右孩子的情况下，在与左孩子做比较
        int swapIndex = leftChild(index); //默认是左孩子大
        ////如果有右孩子并且右孩子比左孩子大
        if (swapIndex + 1 < myArray.getSize() &&
                myArray.getByIndex(swapIndex).compareTo(myArray.getByIndex(swapIndex + 1)) < 0) {
            swapIndex = rightChild(index);
        }
        //堆的性质：只要当前的父亲节点大于两个孩子节点即可，不需要一直往下看，直接结束循环
        if (myArray.getByIndex(index).compareTo(myArray.getByIndex(swapIndex)) > 0) {
            break;
        }
        myArray.swap(index, swapIndex);//和子节点交换元素
        index = swapIndex;//重新标记index的位置，便于下次循环逻辑
    }
}

Replace操作

replace就是替换根元素的操作，简单的思路可以是先取出根元素，也就是上面实现的extractMax()方法，然后在添加一个元素。但这样相当于两个O(logn)的操作。还有一种实现思路就是直接将根元素替换掉，然后做一个shift down就解决了。

//取出根元素，并替换成最新元素
public E replace(E e) {
    E e1 = findMax();
    myArray.set(0,e);
    shiftDown(0);
    return e1;
}

Heapify操作

heapify是将一个数组转换为一个堆的过程，这个实现完全可以用添加操作来完成，但是复杂度是O(nlogn)级别的，如果将一个数组一次性的放到堆中，找到最后一个非叶子节点，从这个节点向前遍历，将每一个元素做一个下沉操作就可以了。那如何定位最后一个非叶子节点呢？很简单就是最后一个叶子节点的父节点。

public MaxHeap(E[] arr){
    //将一个数组直接转换为最大堆
    myArray = new MyArray<>(arr);
    //parent(arr.getSize - 1)是除了叶子节点以外，开始向上遍历
    for(int x = parent(myArray.getSize() - 1); x >= 0 ; x--) {
        shiftDown(x);
    }
}

D叉堆

二叉堆是一个节点有两个儿子，D叉堆就是一个节点有D个儿子，这样树的深度就会变短。用法和二叉堆差不多，只不过元素在上浮和下沉的时候需要多判断一下。至于D取值为多少性能最好，还是要实战的试一下的。