手撕数据结构与算法-开篇

1. 浪子回头

2019年，这个不平凡的一年，中美贸易战、各个大厂裁员。造成了现在互联网行情不好，形势很严峻啊。有的人说今年是互联网过去十年中最差的一年，也可能是未来十年中最好的一年。身处这样乱世的我们怎么办？我也听很多朋友说，今年的面试都比较严格，特点是"要求高、薪资低"。也经常听见他们说某某大厂考了个手写算法，结果当场挂了。身为程序员的我们，再这样行业形势严峻、竞争压力大的情况下，只有不断提升自身能力，以确保在行业内能有个立足之地。

《数据结构与算法》在我学生时代就是一门让我望而止步的课程。听着名字就感觉很晦涩难懂、需要大量的数学知识做铺垫。相信很多人也都和我一样，上学的时候学的一知半解，到了工作以后也很少用到就不了了之了。但是它却成为了你面试、寻找好的平台的障碍。很多大厂都很看中程序员的基本功，所以在面试中算法就编程了常考题目，为什么呢？因为基础知识就像是一座大楼的地基，它能够决定你技术的高度与深度。所以一般大厂都是看中你有没有这个技术发展的潜力。("所以大家要夯实基本功了。")

在我看来后端程序员应该学的有三大基础知识"数据结构与算法"、"计算机系统"、"操作系统Linux"。在这个人人都必须要手撕算法的时代，彻夜难眠的我（纯属扯淡）决定带领大家一起学习三大基础知识，本次开篇系列是《手撕数据结构与算法》，每一个系列更完就会开启下一个系列，大家不要着急。

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2. 数学知识复习

在我们系统的学习数据结构与算法之前，我们先简单的复习几个数学知识，相信大家也都忘的差不多了，是不是都学完了又还给老师了呢？嫑急，跟我一起来复习一下。

2.1. 指数

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1。《百度百科》

• 指数：就是aⁿ中的n。
• 底数：就是aⁿ的a
• 幂运算：指数个底数相乘。

幂运算公式:

• $a^{n}\cdot a^{m} = a^{n+m}$ 同底数相乘，底数不变，指数相加。
• $a^{n} / a^{m} = a^{n-m}$ 同底数相除，底数不变，指数相减。
• $(a^{n})^m = a^{nm} $ 底数的n次方的m次方，底数不变，指数相乘。
• $(ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$ a乘b的n次方，等于a的n次方乘与b的n次方。

2.2. 对数

$ a^{x}=n$ 如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x=log_{a}N$。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。《百度百科》

在计算机科学中，除非有特别的声明，否则所有的对数都是以2为底的。

公式：

• $logAB = logA+logB$ ; A,B>0
• $log_{A}B =\frac{log_{c}B}{log_{c}A}$ ; A,B,C > 0, a≠1

简单列了两个公式，大家看看就行了，知道一下啥是对数。

3. 时间复杂度

对于算法时间复杂度，可能有的朋友可能想了，不就是估算一段代码的执行时间嘛，我们可以搞个监控啊，看看一下每个接口的耗时不就好了，何必那么麻烦，还要分析下时间复杂度。但是这个监控属于事后操作，只有代码在运行时，才能知道你写的代码效率高不高，那么如何在写代码的时候就评估一段代码的执行效率呢，这个时候就需要时间复杂度来分析了。大家平常写代码可以结合时间复杂度和监控做好事前、事后的分析，更好的优化代码。

时间复杂度是衡量算法的时间度量，用来评估一段代码的效率，记作：$T(n) = O(f(n))$ ,它表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和$f(n)$相同。$f(n)$是语句所执行时间函数。

3.1 大O表示法

因为渐进时间复杂度使用大写O来表示，所以也称大O表示法。例如: $O(f(n))$。

常见时间复杂度：

复杂度	非正式术语	例子
$O(1)$	常数阶	$12$
$O(logn)$	对数阶	$5log_{2}n+10$
$O(n)$	线性阶	$2n+3$
$O(nlogn)$	nlogn阶	$2n+3log_{2}n+2$
$O(n^{2})$	平方阶	$3n^{2}$
$O(n^{3})$	立方阶	$2n^{3}+5$
$O(2^{n})$	指数阶	$2^{n}$

常见时间复杂度所耗费时间从小到大依次是：

$O(1)$ < $O(logn)$ < $O(n)$ < $O(nlogn)$ < $O(n^{2})$ < $O(n^{3})$ < $O(2^{n})$

推导大O的方法：

• 用1取代运行时间中的所有常数。例如：$O(2n^{2})$ ==> $O(n^{2})$
• 在函数中只保留最高阶项。例如 $O(2n^{2})+O(n)$ ==> $O(2n^{2})$
• 如果最高阶项存在并且不是1，则去掉与之相乘的系数。例如：$O(2n^{2})$ ==> $O(n^{2})$

3.2 如何分析时间复杂度

• $O(1)$

  int i = 5;         /*执行一次*/
  int j = 6;         /*执行一次*/
  int sum = j + i;   /*执行一次*/

  这段代码的运行函数应该是$f(n)=3$ ,用来大O来表示的话应该是$O(f(n))=O(3)$ ,但是根据我们的推导大O表示法中的第一条，要用1代替函数中的常数，所以$O(3)=>O(1)$,那么这段代码的时间复杂度就是$O(1)$而不是$O(3)$。

• $O(logn)$

  int count = 1;             /*执行一次*/
  int n = 100;               /*执行一次*/
  while (count < n) {
      count = count * 2;     /*执行多次*/
  }

  这段代码为什么是logn呢？只有当count小于n的时候才会执行，并且每次count都乘以2，所以由$2^{x}=n$ 得知

  $x=log_{2}n$ ,去掉底数所以这段代码的复杂性就是$O(logn)$ 。

• $O(n)$

  for (int k = 0; k < n; k++) {
      System.out.println(k);   /*执行n次*/
  }

  这段代码的执行次数会随着n的增大而增大，也就是说会执行n次，所以他的时间复杂度就是O(n)。

• $O(n^{2})$

  for (int k = 0; k < n; k++) {
     for (int l = 0; l < n; l++) {
        System.out.println(l);      /*执行了n*n次/
     }
  }

  这段输出l的值得代码对于内循环来讲它执行了n次，但是每个内循环对于外循环来讲又被执行了n次，所以这个输出l值得代码就被执行了n乘n次，也就是$n^{2}$,所以这段代码的时间复杂度就是$O(n^{2})$ 。

读到这里不知道大家学会了没有？其实分析一段代码的时间复杂度，就找到你代码中执行次数最多的地方，分析一下它的时间复杂度是什么，那么你整段代码的时间复杂度就是什么。以最大为准。

3.3 时间复杂度量级

    public int find(int[] arrays, int findValue) {
        int result = -1;                                /*执行一次*/
        int n = arrays.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (arrays[i] == findValue) {               /*执行arrays.length次*/
                result = arrays[i];
                break;
            }
        }
        return result;                                 /*执行一次*/
    }

我们来分析一下上边这个方法，这个方法的作用是从一个数组中查找到它想要的值。其实一个算法的复杂度还会根据实际的执行情况有一定的变化，就比如上边这段代码，假如数组的长度是100，里面存的是1-100的数。

• 最好情况时间复杂度

  如果我在这个数组里面查找数字1，那么在它第一次遍历的时候就找到了这个值，然后就执行break结束当前循环，此时所有的代码只执行了一次，属于常数阶$O(1)$，这就是最好情况下这段代码的时间复杂度。

• 最坏情况时间复杂度

  如果我在这个数组里面查找数字100，那么这个数组就要被遍历一边才能找到并返回，这样的话这个方法就要受到数组大小的影响了，如果数组的大小为n，那么就是n越大，执行次数越多。属于线性阶$O(n)$ ，这就是最坏情况下的时间复杂度。

• 平均情况时间复杂度

  我们都知道最好、最坏时间复杂度都是在两种极端情况下的代码复杂度，发生的概率并不高，因次我们引入另一个概念“平均时间复杂度”。我们还看上边的这个方法，要查找个一个数有n+1中情况：在数组0 ~ n-1的的位置中和不再数组中，所以我们将所有代码的执行次数累加起来((1+2+3+...+n)+n),然后再除以所有情况n(n+1),就得到需要执行次数的平均值了。

  $\frac{(1+2+3...+𝑛)+𝑛)}{(𝑛+1)} = \frac{𝑛(𝑛+3)}{2(𝑛+1)}$

  推导过程：

  🔥 $1+2+3...+𝑛=𝑛+(𝑛−1)+(𝑛−2)...+1$

  🔥 $(1+2+3...+𝑛)=\frac {𝑛(1+𝑛)}{2}$

  🔥 $(1+2+3...+𝑛)+𝑛= \frac {n(3+𝑛)}{2}$

  大O表示法，会省略系数、低阶、常量，所以平均情况时间复杂度是O(n)。

  但是这个平均复杂度没有考虑各自情况的发生概率，这里的n+1个情况，它们的发生概率是不一样的，所以还需要引入各自情况发生的概率再具体分析。findValue要么在1~n中，要么不在1~n中，所以他们的概率都是$\frac{1}{2}$,同时数据在1~n中的各个位置的概率一样为$\frac{1}{n}$ ,根据概率乘法法则，findValue在1~n中的任意位置的概率是$\frac{1}{2n}$ ,因此在上边推导的基础上需要在加入概率的的发生情况。

  考虑概率的平均情况复杂度为：

  $(1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+𝑛\frac{1}{2n})+𝑛\frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}$

  推导过程：

  🔥 $(1+2+3...+𝑛)=\frac{𝑛(1+𝑛)}{2}$

  🔥 $(1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+𝑛\frac{1}{2n}))=\frac{1}{2n}(1+2+3...+𝑛)=\frac{1}{2n}∗\frac{𝑛(1+𝑛)}{2}=\frac{1+𝑛}{4}$

  🔥 $(1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}...+𝑛\frac{1}{2n}))+n\frac{1}{2}=\frac{1+𝑛}{4}+n\frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}$

  这就是概率论中的加权平均值，也叫做期望值，所以平均时间复杂度全称叫：加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。平均复杂度变为$O(\frac{3n+1}{4})$，忽略系数及常量后，最终得到加权平均时间复杂度为$O(n)$。

4. 空间复杂度

算法的空间复杂度是对运行过程中临时占用存储空间大小的度量，算法空间复杂度的计算公式记作：$S(n) = O(f(n))$,n为问题规模，$f(n)$为语句关于n所占存储空间函数。由于空间复杂度和时间复杂度的大O表示法相同，所以我们就简单介绍下。

常见的空间复杂度从低到高是：

$O(1)$ < $O(n)$ < $O(n^{2})$

4.1 如何分析空间复杂度

• $O(1)$

  public static void intFun(int n) {
     var intValue = n;
     //...
  }

  当算发的存储空间大小固定，和输入的规模没有直接的关系时，空间复杂度就记作O(1),就像上边这个方法，不管你是输入10，还是100，它占用的内存都是4字节。

• $O(n)$

  public static void arrayFun(int n) {
     var array = new int[n];
     //...
  }

  当算法分配的空间是一个集合或者数组时，并且它的大小和输入规模n成正比时，此时空间复杂度记为$O(n)$。

• $O(n^{2})$

  public static void matrixFun(int n) {
     var matrix = new int[n][n];
     //...
  }

  当算法分配的空间是一个二维数组，并且它的第一维度和第二维度的大小都和输入规模n成正比时，此时空间复杂度记为$O(n^{2})$ 。

5. 总结

对于时间和空间的取舍，我们就要根据具体的业务实际情况而定，有的时候就需要牺牲时间来换空间，有的时候就需要牺牲空间来换时间，在现在这个计算机硬件性能飙升的时代，当然我们还是喜欢选择牺牲空间来换时间，毕竟内存还是有的，也不贵。并且可以提高效率给用户更好的体验。

• 什么是时间复杂度？

  时间复杂度就是对算法运行时间长短的度量，用大O表示为$T(n) = O(f(n))$ 。常见的时间复杂度从低到高的顺序是：$O(1)$、$O(logn)$ 、$O(n)$、$O(nlogn)$、$O(n^{2})$ 。

• 什么是空间复杂度？

  空间复杂度是对算法运行时所占用的临时存储空间的度量，用大O标识为$S(n)= O(f(n))$ 。常见的空间复杂度从低到高的顺序是：$O(1)$ 、$O(n)$、$O(n^{2})$ 。

6. 参考

1. 《数据结构与算法分析》
2. 《大话数据结构》
3. 《漫画算法》

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