XOR — 神奇的按位运算符

一、异或运算符

在数字逻辑中，逻辑算符异或（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型，符号为 XOR 或 ⊕（编程语言中常用 ^）。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真。

1.1 异或运算的表示形式

名称	符号
数学符号	⊕
英文简称	xor
程序符号	^

1.2 异或运算的真值表

异或运算 p ⊕ q 的真值表如下：

p	q	⊕
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

无论怎样改变同一行中 p，q 的位置，真值表都是成立的。

1.3 异或运算规则

由上述的真值表，我们可以总结出以下异或运算的运算规则：

1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0

下面我们以 8 ^ 6 为例，来实际体验一下异或运算。

8 ^ 6 = 14
  0000 1000
^ 0000 0110
------------
  0000 1110

二、异或运算符性质

名称	值	二进制表达式(8位)
p	15	0000 1111
q	8	0000 1000
r	6	0000 0110

2.1 交换律：p ⊕ q = q ⊕ p

p ⊕ q

  0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
  0000 0111

q ⊕ p

  0000 1000 // q=8
⊕ 0000 1111 // p=15
------------
  0000 0111

2.2 结合律：p ⊕ (q ⊕ r) = (p ⊕ q) ⊕ r

p ⊕ (q ⊕ r)

  0000 1000 //q=8
⊕ 0000 0110 //r=6
------------
  0000 1110 //(q ⊕ r)的结果
⊕ 0000 1111 //p=15
------------
  0000 0001 // p ⊕ (q ⊕ r)的结果

(p ⊕ q) ⊕ r

  0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
  0000 0111 //(p ⊕ q)的结果
⊕ 0000 0110 //r=6
------------
  0000 0001 // (p ⊕ q) ⊕ r的结果

2.3 恒等律：p ⊕ 0 = p

一个数与 0 进行异或运算等于它本身

  0000 1111 //p=15
⊕ 0000 0000
------------
  0000 1111

2.4 归零律：p ⊕ p = 0

一个数与它本身进行异或运算等于 0

  0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1111 //p=15
------------
  0000 0000

基于该特性，可以通过 a ⊕ b == 0 来判断两个整数的值是否相等。

2.5 自反：p ⊕ q ⊕ q = p ⊕ 0 = p

p ⊕ q ⊕ q

  0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
  0000 0111 //p ⊕ q的结果
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
  0000 1111 // p ⊕ q ⊕ q的结果

三、异或运算符应用

3.1 使某些特定的位翻转

给定整数 a，要求翻转 a 对应二进制表达式中的特定位。假设整数 a 的值为 10，其对应二进制表达式为 0000 1010（以 8 位为例），我们要求对第 3 位和第 4 位进行翻转，要实现这个需求，可以将 a 与 b（12） 进行按位异或运算。

  0000 1010 //a=10
⊕ 0000 1100 //b=12
------------
  0000 0110 //a ⊕ b的结果 

通过观察以上结果，我们可以发现第 3 位（0 -> 1）和第 4 位（1 -> 0）都完成了翻转。

3.2 不用额外变量交换两个整数的值

给定整数 a 和 b，不用额外变量交换两个整数的值。针对该问题，可以用以下三行代码来交换 a 和 b 的值（a0 与 b0 表示原始值）：

a = a ^ b; // ① a = a0 ^ b0，b = b0
b = a ^ b; // ② a = a0 ^ b0，b = a0 ^ b0 ^ b0 = a0
a = a ^ b; // ③ a = a0 ^ b0 ^ a0 = b0，b = a0

下面我们来分析一下上述代码的执行过程：

• 执行完第一行代码之后，a 的值变成 a0 ^ b0 的值，记为 c，而 b 的值保持不变；
• 执行完第二行代码之后，a 的值不变仍为 c，而 b 的值为 c ^ b 即 a0 ^ b0 ^ b0 的运算结果，利用前面提到异或运算的特性可以得出 b = a0 ^ (b0 ^ b0) = a0 ^ 0 = a0，即 b = a0；
• 执行完第三行代码之后，a 的值为 a0 ^ b0 ^ a0 的运算结果，同样利用异或运算的特性可以得出 a = b0 ^ (a0 ^ a0) = b0 ^ 0，即 a = b0。

JavaScript Code：

function swap(a, b) {
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b;
}

3.3 只出现一次的数字

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。异或运算符满足交换律和结合律，所以假设有一个非空整数数组为：[A C B C B A D]，把每一项进行异或运算：

 A ^ C ^ B ^ C ^ B ^ A ^ D
 = A ^ A ^ B ^ B ^ C ^ C ^ D
 = 0 ^ 0 ^ 0 ^ D
 = 0 ^ D
 = D

JavaScript Code：

function singleNumber(nums) {
    let ans = 0;
    for(const num of nums) {
        ans ^= num;
    }
    return ans;
}

3.4 确定将整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数

给定两个整数 A 和 B，请计算把整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数。下面我们来举例说明一下：

名称	十进制	二进制
A	15	0000 1111
B	10	0000 1010

通过观察上述表格，要把整数 A（15）转换成整数 B（10），需要翻转的位数为 2。这里我们再来回顾一下异或的运算规则：

1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0

然后我们对整数 A 和整数 B 执行异或运算：

  0000 1111
⊕ 0000 1010
------------
  0000 0101

这时我们可以知道，如果整数 A 和整数 B 对应位的值不一致的话，当前位的异或结果就为 1，在转换过程中就需要进行翻转。而要计算整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数，就可以转换为计算 A ⊕ B 运算结果二进制数中 1 的个数。

JavaScript Code：

function bitflip(a, b){
   let count = 0;
   let c = a ^ b;
   while(c != 0){
      c = c & (c - 1);
      count++;  
   }
   return count;
}

3.5 判断一个二进制数中 1 的数量是奇数还是偶数

给定一个二进制数如 0110 1100，求该二进制数中 1 的数量是奇数还是偶数。利用异或运算 p ⊕ 0 = p 恒等律的特性，上述问题可以这样解答：0 ^ 1 ^ 1 ^ 0 ^ 1 ^ 1 ^ 0 ^ 0 = 0。若二进制数中每 1 位执行异或运算的结果为 1，则 1 的数量是奇数，而结果为 0，则 1 的数量是偶数。

该功能的实际应用场景是奇偶校验，比如在串口通信中，每个字节的数据都计算一个校验位，数据和校验位一起发送出去，这样接收方可以根据校验位判断接收到的数据是否有误。

3.6 比特序列加密

现代的密码都是建立在计算机的基础上，这是因为现代的密码所处理的数据量非常大，而且密码算法也非常复杂，不借助计算机的力量就无法完成加密和解密的操作。

计算机的操作对象并不是文字，而是由 0 和 1 排列而成的比特序列。无论是文字、图片、声音、视频还是程序，在计算机中都是用比特序列来表示的。执行加密操作的程序，就是将表示明文的比特序列转换为表示密文的比特序列。

这里我们来看一个比特序列异或运算的示例：

  0 1 0 0 1 1 0 0 // A
⊕ 1 0 1 0 1 0 1 0 // B 
--------------------
  1 1 1 0 0 1 1 0 //（A ⊕ B）的结果
⊕ 1 0 1 0 1 0 1 0 // B 
--------------------
  0 1 0 0 1 1 0 0 // A

可能你已经发现了，上面的计算过程和加密、解密的步骤非常相似。

• 将明文 A 用密钥 B 进行加密，得到密文 A ⊕ B
• 将密文 A ⊕ B 的结果异或密钥 B 进行解密，得到明文 A

实际上，只要选择一个合适的 B，仅仅使用 XOR 就可以实现一个高强度的密码。

四、参考资源

• 维基百科 - 逻辑异或

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