宝宝也能看懂的 leetcode 周赛 - 170 - 4

1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

Hi 大家好，我是张小猪。欢迎来到『宝宝也能看懂』系列之 leetcode 周赛题解。

这里是第 170 期的第 4 题，也是题目列表中的第 1312 题 -- 『让字符串成为回文串的最少插入次数』

题目描述

给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数。

「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

示例 1：

输入：s = "zzazz"
输出：0
解释：字符串 "zzazz" 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

示例 2：

输入：s = "mbadm"
输出：2
解释：字符串可变为 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm" 。

示例 3：

输入：s = "leetcode"
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 "leetcodocteel" 。

示例 4：

输入：s = "g"
输出：0

示例 5：

输入：s = "no"
输出：1

提示：

• 1 <= s.length <= 500
• s 中所有字符都是小写字母。

官方难度

HARD

解决思路

一看到回文字符串，脑中第一反应就是那个马拉车算法，然后瞬间就不想做这道题了，小猪闹脾气，哼 T_T

不过冷静下来之后还是先仔细看一下题的内容。题目要求为给定一个字符串，我们可以向里面任意位置插入任何字符，最终要使得该字符串变成一个回文字符串。需要得到这个最小的被插入的字符数量。

其实我的第一反应是要不要找到当前的最长回文子字符串，然后基于它来判断两边的差异从而得到结果。可是这样会有一个问题，那就是基于最长回文子字符串作为中点来进行填充，真的是最优解么？对于这个疑问我们可以看一下这个例子。

对于 "abccdec" 这个字符串，我们可以得到最长的回文子字符串是 "cc"。如果我们基于它作为中点，那么由于左右完全不一样，需要 5 个字符来进行补齐，例如 "abcedccdecba"。但其实我们可以做到只用 4 个字符进行补齐，即 "abcedcdecba"。这是由于对于奇数长度的字符串，中点其实不需要进行补齐，而我们也利用了左右一对匹配的 "c" 字符，所以可以减少一个补齐字符的需求。

那么我们尝试换一个思路，回到这个字符串本身的特性。如果它最后要变成一个回文字符串，那么它最终的最左侧和最右侧的字符一定要是相同的。所以反推回来，如果当前最左侧和最右侧的字符一样，便可继续遍历。但是如果不一样呢？这时候我们可以进行填补。可是填补的方式有两种：

• 我们可以在左侧填补一个最右侧的字符，这时候左侧可以继续向前遍历。
• 我们可以在右侧填补一个最左侧的字符，这时候右侧可以继续向前遍历。

对于这两种填补方式，它们的填补消耗都是 1 个字符，我们也无法确定哪一种是最优解。所以只有继续推导，直到最终遍历完成后便可得到全局最优解。

动态规划

基于上述思路，我们不难想到这里可以利用动态规划的方式来进行实现，或者说动态规划是对于这种思路方式的一种比较不错的实现。

那么什么是动态规划呢？详细的内容还是期待新坑吧，哈哈哈哈，小猪这里就不展开啦。我们这里先基于这道题目的内容进行分析和说明就好了。

如上述思路中提到的内容，如果我们想知道区间 [left, right] 范围里的最优解，那么可能存在两种情况，即 s[left] === s[right] 或者 s[left] !== s[right]。针对这两种情况，我们可以得到两种对应的结果，即 0 + [left + 1, right - 1] 和 1 + min([left + 1, right], [left, right - 1])。如果写成一个递推公式的话可以是：

f(left, right) = s[left] === s[right] ? f(left + 1, right - 1) : 1 + min(f(left + 1, right), f(left, right - 1))

那么接下来按照动态规划的惯例，我们使用一个数组来记录递推的过程和中间值。具体流程如下：

1. 申明一个二维数组。
2. 初始化长度为 1 时候的每个字符串所需要的开销，即 0，因为一个字符自身就是回文字符串。
3. 根据上面的递推公式，逐层的推出每一层的值。
4. 最终取出 [0, s.length - 1] 对应的值就是我们的结果。

根据上述流程，我们可以实现类似下面的代码：

const minInsertions = s => {
  const LEN = s.length;
  const dp = [];
  for (let i = 0; i < LEN; ++i) {
    dp[i] = new Uint16Array(LEN);
    dp[i][i + 1] = s[i] === s[i + 1] ? 0 : 1;
  }
  for (let i = 2; i < s.length; ++i) {
    for (j = 0; j < s.length - i; ++j) {
      dp[j][j + i] = s[j] === s[j + i]
        ? dp[j + 1][j + i - 1]
        : 1 + Math.min(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);
    }
  }
  return dp[0][s.length - 1];
};

优化

上面的代码时间复杂度 O(n^2)，空间复杂度也是 O(n^2)。那么其实按照经验，我们可以尝试一下把空间复杂度压缩到 O(n)，即不是用二维数组，只是用一维数组来记录递推的中间值。

不过这里要注意的是，由于我们无法保存所有历史的中间值，所以我们的遍历递推方向做出了一点调整。具体的代码如下：

const minInsertions = s => {
  const LEN = s.length;
  const dp = new Uint16Array(LEN);
  for (let i = LEN - 2; i >= 0; i--) {
    let prev = 0;
    for (let j = i + 1; j < LEN; j++) {
      const tmp = dp[j];
      dp[j] = s[i] === s[j] ? prev : 1 + Math.min(dp[j], dp[j - 1]);
      prev = tmp;
    }
  }
  return dp[LEN - 1];
};

这段代码跑出了 60ms，暂时 beats 100%。

总结

这道题的风格可能更偏向于科班一点，特别是其中关于动态规划的部分，包含着满满的套路感。不过我觉得这里面比较重要的部分在与，整个推导过程中前者和后者的关系，也就是如何基于当前值衍生出下一个值。一旦有了这个推导公式，我们便能较为容易的写出对应的代码实现了。

相关链接

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