贪心算法4-最小生成树(Prim算法）

1.问题分析

在一个有n个节点的无向连通图G = (V, E)中，V表示顶点集，E表示边集。只需n-1条边就可以使这个图连通，n-1条边要想保证图连通，就必须不含回路，所以我们只需要找出n-1条权值最小且无回路的边即可。

需要明确几个概念：

• 生成子图：选中一些边和所有顶点组成的图，称为原图的生成子图。
• 生成树：如果生成子图恰好是一棵树，称为生成树。
• 最小生成树：权值之和最小的生成树，称为最小生成树。

2.算法分析

为了在最小生成树的生成过程中，不产生环路，我们可以使用“切割法”。具体来说，在生成树的过程中，我们把已经在生成树的节点看成一个集合，把剩下的节点看作另一个集合，在这两个集合之间画一条切割线，从切割线经过的边上选出一条取值最小的作为新加入的边，可以形象地把这种方法称为“切割法”。
首先任选一个节点，如1号节点，把它放在U中，U = {1},那么剩下的节点即V - U = {2，3，4，5，6，7}，V是图的所有顶点集合。如图2所示。

现在在连接两个集合(U和V-U)的边中找出权值最小的，通过画切割线可以很快找到节点1和节点2之间的边权值最小，选中这条边，把2号节点加入U = {1, 2}, V - U = {3, 4, 5, 6}。
再按照上述操作在连接两个集合(U和V-U)的边中找出权值最小的边，如图3所示。如此下去，直到U = V结束。

这个就是Prim算法，1957年由美国计算机科学家Robert C.Prim发现的。通过观察可以发现，Prim算法的贪心策略是：每次选取连接U和V-U的所有边中的最短边。

3.算法设计

算法设计的步骤如下所示：
步骤1：设计数据结构。用带权邻接矩阵C存储图G,bool数组s[]，如果s[i] = true,说明顶点i已加入集合U，如图2所示。还有一个问题就是，从图上我们可以很直观地找出连接两个集合中的权值最小的边，但是在程序中如果穷举这些边就会很麻烦。在单源最短路径，我们只需要维护一个源点到其它点的最短距离数组dist[]即可，但是这里显然不行，我们需要维护的是V-U中的点到U的最短距离，需要两个数组，closest[j]表示V-U中的节点j到集合U中的最临近点，lowcost[j]表示这两个点之间边的权值。对于图2的求解过程，对应的closest[]和lowcost[]如下图所示：

只需要在V-U集合找lowcost[]值最小的顶点即可。
步骤2：初始化。令集合U={u},并初始化cloest[],lowcost[]和s[]。
步骤3：在V-U集合中找lowcost最小的节点t,将节点t加入集合U。
步骤4：如果集合V-U为空，算法结束。
步骤5：对集合V-U中的所有顶点j,更新其lowcost[]和closest[]。由于此时t已经是U中的节点，但它和U-V中的一些节点有连接，因此需要更新当它加入U时而引起的连接两个集合的权值最小的边的变化情况，更新公式为：if(c[t][j] < lowcost[j]) {lowcost[j] = c[t][j] ; closest[j] = t;},转步骤3。
按上述步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。

4.算法图解

(1)数据结构

(2)初始化

假设u=1, 令集合U = {1}, V - U = {2，3，4，5，6，7}，s[1] = true,初始化closest[]:除了1号节点外其余节点均为1，表示V-U中的顶点到集合U的最临近点都为1，因为它们现在在U中还看不到其它节点。lowcost[]:1号节点到V-U中的节点的边的权值，直接读取邻接矩阵第一行就好。初始化结果如下图所示。

(3)找最小

在集合V-U={2,3,4,5,6,7}中，依照贪心策略寻找V-U集合中lowcost最小的顶点t,如下图所示。

(4)加入集合U

令集合U = {1,2}, V - U = {3,4,5,6,7}, s[2] = true。

(5)更新

将2号节点加入集合U，和它邻接集合V-U中的节点是3和7。更新节点3和7：
c2 = 20 < lowcost[3] = INF,更新lowcost[3] = 20,同时更新closest[3] = 2;
c2 = 1 < lowcost[7] = 36, 更新lowcost[7] = 1,同时更新closest[7] = 2;更新后的结果如下图所示。

(6)找最小

在集合V-U={3,4,5,6,7}中，依照贪心策略寻找V-U集合中lowcost最小的顶点t,如下图所示。

(7)加入集合U

令集合U = {1,2,7}, V - U = {3,4,5,6}, s[7] = true。

(8)更新

将7号节点加入集合U后，和它邻接集合V-U中的节点是3，4，5，6。更新：
c7 = 4 < lowcost[3] = 20, 更新lowcost[3] = 4, 同时更新closest[3] = 7;
c7 = 9 < lowcost[4] = INF, 更新lowcost[4] = 9, 同时更新closest[4] = 7;
c7 = 16 < lowcost[5] = INF, 更新lowcost[5] = 16, 同时更新closest[5] = 7;
c7 = 25 < lowcost[6] = 28, 更新lowcost[6] = 25, 同时更新closest[6] = 7;
更新后的结果如下图所示。

(9)找最小

(10)继续这样处理，最终得到结果如下图。

(画不动了，太累了。。。)

5.代码片段展示

(1)初始化

// u表示最先加入集合U中的节点编号
s[u] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    // 初始化lowcost[],closest[]和s[]
    if (i != u) {
        lowcost[i] = c[u][i];
        closest[i] = u;
        s[i] = flase;
    }
    else 
        lowcost[i] = 0;
}

(2)在集合V-U中寻找距离集合U最近的顶点t

int tmp = INF, t = u;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
    if (!s[j] && (lowcost[j] < tmp)) {   //!s[j]表示j节点V-U集合中
        t = j;
        tmp = lowcost[j];
    }
}
// 找不到，跳出循环
if (t == u) break;

(3)更新lowcost和closest数组

s[t] = true;  // 将t加入集合U
for (int j = 1; j <= n; j++) {
    if ((!s[j]) && (c[t][j] < lowcost[j])) {
        lowcost[j] = c[t][j];
        closest[j] = t;
    }
}

6.代码实现

// 基于Prim算法实现最小生成树
#include <iostream>
#include <vector>
const int INF = 1e7;

using namespace std;

vector<vector<int>> Init() {
    int n, m;
    cout << "请输入带权无向图的定点数和边数(以空格隔开):" << endl;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> graph(n+1, vector<int>(n+1, INF));
    cout << "请依次输入" << m << "条边的开始节点，结束节点，权值(以空格隔开):" << endl;
    int start, end, wet;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> start >> end >> wet;
        graph[start][end] = wet;
        graph[end][start] = wet;
    }

    return graph;
}

int Prim(vector<vector<int>>& c, int u) {
    int n = c.size() - 1;
    // 定义数据结构lowcost[]，closest[]，s[]
    vector<int> lowcost(n+1);
    vector<int> closest(n+1);
    vector<bool> s(n+1);

    /// 1.初始化lowcost[]，closest[]，s[]
    s[u] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i != u) {
            lowcost[i] = c[u][i];
            closest[i] = u;
            s[i] = false;
        }
        else
            lowcost[i] = 0;
    }


    // n个节点之间需要找最短路径n-1次
    for (int i = 0; i < n-1; i++) { 
        // 2.找最小
        int tmp = INF, t = u;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!s[j] && (lowcost[j] < tmp)) {   //!s[j]表示j节点V-U集合中
                t = j;
                tmp = lowcost[j];
            }
        }
        // 找不到，跳出循环
        if (t == u) break;

        // 将t加入集合U
        s[t] = true;  

        // 3.更新
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if ((!s[j]) && (c[t][j] < lowcost[j])) {
                lowcost[j] = c[t][j];
                closest[j] = t;
            }
        }
    }

    // 4.打印最终结果
    int totalcost = 0;
    cout << "lowcost[]数组：";
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << lowcost[i] << " ";
        totalcost += lowcost[i];
    }
    cout << endl;
    cout << "closest[]数组：";
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << closest[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return totalcost;
}

// test main()
int main() {
    vector<vector<int>> graph = Init();
    int weight = Prim(graph, 1); // 1表示从1开始找
    cout << "\n最小生成树总的花费是：" << weight << endl;
}

7.实验结果

请输入带权无向图的定点数和边数(以空格隔开):
7 12
请依次输入12条边的开始节点，结束节点，权值(以空格隔开):
1 2 23
1 6 28
1 7 36
2 3 20
2 7 1
3 4 15
3 7 4
4 5 3
4 7 9
5 6 17
5 7 16
6 7 25
lowcost[]数组：0 23 4 9 3 17 1
closest[]数组：0 1 7 7 4 5 2

最小生成树总的花费是：57

D:\projects\test\x64\Release\test.exe (进程 1788)已退出，返回代码为: 0。

8.算法优化

显然，Prim算法的时间复杂度为O(n^2),同单源最短路径，哈夫曼编码类似，都可以通过在“找最小”的步骤引入优先队列，可以使找最小的操作的时间复杂度降为O(logn)，总的时间复杂度降为O(nlogn)，Prim算法用优先队列比较简单，如前面几个贪心算法那样，只需构造一个结构体来存储节点相关信息，重写节点的排序规则就可以了，这里就不再进行代码演示，有疑问的看官可以参考贪心算法二和三的算法优化相关部分讲解，也可以直接留言提问。

Prim算法的讲解就到这里，各位看官不要走开，请继续关注下一讲贪心算法三--最小生成树(Kruskal算法)~~~

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