【数据结构】51_树的定义与操作

树的定义

• 树是一种非线性数据结构

• 树是由 n(n>=0) 个结点组成的有限集合

  • 如果 n = 0, 称为空树；

  • 如果 n > 0, 则：

    • 有一个特定的称之为根(root)的结点
    • 根结点只有直接后继，但没有直接前驱
    • 除根以外的其它结点划分为m(m>=0)个互不相交的有限集合T0,T1,...,Tm-1,每个集合又是一颗树，并且称之为根的子树(sub tree)

树的示例

树中度的概念

• 树的结点包含一个数据及若干指向子树的分支

• 结点拥有的子树数目称为结点的度

  • 度为 0 的结点称为叶结点
  • 度不为 0 的结点称为分支结点
• 树的度定义为所有结点中度的最大值

树的度的示例

度为 3 的树

树中的前驱和后继

• 结点的直接后继称为该结点的孩子

  • 相应的，该结点称为孩子的双亲

• 结点的孩子的孩子的......称为该结点的子孙

  • 相应的，该结点称为子孙的祖先
• 同一个双亲的孩子之间互称为兄弟

数中的结点层次

• 根为第 1 层
• 根的孩子为第 2 层
• ...

树中结点的最大层次称为树的深度或高度

树的有序性

如果树中结点的各子树从左到右是有次序的，子树之间不能互换位置，则称为该树为有序树，否则为无序树。

森林的概念

• 森林是由 n(n>=0) 颗互不相交的树组成的集合

树的操作

• 将元素插入数中
• 将元素从树中删除
• 在树中查找元素
• 获取树的结点数
• 获取数的高度
• 获取数的度
• 清空数的元素

。。。

树的数据结构

数在程序中表现为一种特殊的数据类型

template <typename T>
class Tree : public Object
{
public:
    Tree() { m_root = NULL; }
    virtual bool insert(TreeNode<T> *node) = 0;
    virtual bool insert(const T &value, TreeNode<T> *parent) = 0;
    virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(const T &value) = 0;
    virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(TreeNode<T> *node) = 0;
    virtual TreeNode<T>* find(const T &value) const = 0;
    virtual TreeNode<T>* find(TreeNode<T> *node) const = 0;
    virtual TreeNode<T>* root() const = 0;
    virtual int degree() const = 0;
    virtual int count() const = 0;
    virtual int height() const = 0;
    virtual void clear() = 0;
    
protected:
    TreeNode<T> *m_root;
};

结点的数据结构

树中的结点也表现为一种特殊的数据类型

template <typename T>
class TreeNode : public Object
{
public:
    T value;
    TreeNode<T> *parent;
    
    TreeNode()
    {
        parent = NULL;
    }
    
    virtual ~TreeNode() = 0;
};

树与结点的类关系

编程实验：树与结点抽象类的创建

文件：TreeNode.h

#ifndef TREENODE_H
#define TREENODE_H

#include "Object.h"

namespace DTLib
{

template <typename T>
class TreeNode : public Object
{
public:
    T value;
    TreeNode<T> *parent = nullptr;

    virtual ~TreeNode() = 0;
};

template <typename T>
TreeNode<T>::~TreeNode()
{

}

}

#endif // TREENODE_H

文件：Tree.h

#ifndef TREE_H
#define TREE_H

#include "Object.h"
#include "TreeNode.h"
#include "SharedPointer.h"

namespace DTLib
{

template <typename T>
class Tree : public Object
{
public:
    Tree() = default;
    virtual bool insert(TreeNode<T> *node) = 0;
    virtual bool insert(const T &value, TreeNode<T> *parent) = 0;
    virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(const T &value) = 0;
    virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(TreeNode<T> *node) = 0;
    virtual TreeNode<T>* find(const T &value) const = 0;
    virtual TreeNode<T>* find(TreeNode<T> *node) const = 0;
    virtual TreeNode<T>* root() const = 0;
    virtual int degree() const = 0;
    virtual int count() const = 0;
    virtual int height() const = 0;
    virtual void clear() = 0;

protected:
    TreeNode<T> *m_root = nullptr;
};

}

#endif // TREE_H

小结

• 树是一种特殊的数据结构
• 结点拥有唯一前驱（父结点）和若干后继（子结点）
• 树的结点包含一个数据及若干指向其它结点的指针
• 树与结点在程序中表现为特殊的数据类型

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