图解快速排序及双路三路快速排序

前言

之前我们介绍了交换类排序中的冒泡排序，这次我们介绍另一种交换类排序叫做快速排序。快速排序的优点是原地排序，不占用额外空间，时间复杂度是O(nlogn)。

当然，对于快速排序来说，它也是有缺点的，它对于含有大量重复元素的数组排序效率是非常低的，时间复杂度会降为O(n^2)。此时需要使用改进的快速排序—双路快速排序，在双路快速排序的基础上，我们又进一步优化得到了三路快速排序。

快速排序

快速排序的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

快速排序的步骤如下：

1. 把第一个元素作为分界的标定点，用l指向它。

   

2. 遍历右边元素，在遍历的过程中，我们整理数组，一部分小于v，一部分大于v，用j指向小于v和大于v的分界点，用i指向当前访问的元素e，此时，数组arr[l+1...j]<v，arr[j+1...i-1]>v。

   

3. 若e>v，那么直接将e合并在大于v那么部分的后面，然后i++继续比较后面的元素。

   

4. 若e<v，那么将e移动到j所指向元素的后一个元素，接着j++，然后i++继续比较后面的元素。

   

5. 使用这种方式对整个数组进行一次遍历，遍历完后数组被分成三部分，左边部分是v，中间部分是>v，右边部分是<v。

   

6. 最后，我们让l指向的元素和j指向的元素交换，这样就v这个元素进行了快速排序，v左边元素都小于v，右边元素都大于v。

   

现在我们使用上述方法对数组[2, 1, 4, 3, 7, 8, 5, 6]进行快速排序，下图展示了整个快速排序的过程：

快速排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    sort(arr, 0, n - 1);
}

// 递归使用快速排序,对arr[l...r]的范围进行排序
private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r) {
    if (l >= r) {
        return;
    }
    // 对arr[l...r]部分进行partition操作, 返回p, 使得arr[l...p-1] < arr[p] ; arr[p+1...r] > arr[p]
    int p = partition(arr, l, r);
    sort(arr, l, p - 1);
    sort(arr, p + 1, r);
}

private static int partition(Comparable[] arr, int l, int r) {
    // 最左元素作为标定点
    Comparable v = arr[l];
    int j = l;
    for (int i = l + 1; i <= r; i++) {
        if (arr[i].compareTo(v) < 0) {
            swap(arr, j + 1, i);
            j++;
        }
    }
    swap(arr, l, j);
    return j;
}

优化的快速排序

经过上述介绍，我们可以发现快速排序不能保证每次切分的子数组大小相等，因此就可能一边很小，一边很大。对于一个有序数组，快速排序的时间复杂度就变成了O(n^2)，相当于树退化成了链表，下图展示了这种变化：

上述我们是固定使用左边的第一个元素作为标定元素，现在我们随机挑选一个元素作为标定元素。此时我们第一次选中第一个元素的概率为 1/n，第二次又选中第二个元素 1/n-1，以此类推，发生之前退化成链表的概率为1/n(n-1)(n-2)....，当 n 很大时，这种概率几乎为 0。

另一个优化就是对小规模数组使用插入排序，因为递归会使得小规模问题中方法的调用过于频繁，而插入排序对小规模数组排序是非常快的。

优化的快速排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    sort(arr, 0, n - 1);
}

// 递归使用快速排序,对arr[l...r]的范围进行排序
private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r) {
    // 对于小规模数组, 使用插入排序
    if (r - l <= 15) {
        InsertionSort.sort(arr, l, r);
        return;
    }
    // 对arr[l...r]部分进行partition操作, 返回p, 使得arr[l...p-1] < arr[p] ; arr[p+1...r] > arr[p]
    int p = partition(arr, l, r);
    sort(arr, l, p - 1);
    sort(arr, p + 1, r);
}

private static int partition(Comparable[] arr, int l, int r) {
    // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot
    swap(arr, l, (int) (Math.random() * (r - l + 1)) + l);
    Comparable v = arr[l];
    int j = l;
    for (int i = l + 1; i <= r; i++) {
        if (arr[i].compareTo(v) < 0) {
            swap(arr, j + 1, i);
            j++;
        }
    }
    swap(arr, l, j);
    return j;
}

双路快速排序

对于含有大量重复元素的数组，使用上述的快速排序效率是非常低的，因为在我们上面的判断中，如果元素小于v，则将元素放在<v部分，如果元素大于等于v，则放在>v部分。此时，如果数组中有大量重复元素，>v部分会变得很长，导致左右两边不均衡，性能降低。

双路快速排序的步骤如下：

1. 将<v和>v两部分放在数组的两端，用i指向<v部分的下一个元素，用j指向>v部分的前一个元素。

   

2. 从i开始向后遍历，如果遍历的元素e<v，则继续向后遍历，直到遍历的元素e>=v，则停止遍历。同样从j开始向前遍历，如果遍历的元素e>v，则继续向前遍历，直到遍历的元素e<=v，则停止遍历。

   

3. 交换i指向的元素和j指向的元素。然后i++，j--继续比较下一个。

   

双路快速排序的代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    sort(arr, 0, n - 1);
}

private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r) {
    // 对于小规模数组, 使用插入排序
    if (r - l <= 15) {
        InsertionSort.sort(arr, l, r);
        return;
    }
    int p = partition(arr, l, r);
    sort(arr, l, p - 1);
    sort(arr, p + 1, r);
}

private static int partition(Comparable[] arr, int l, int r) {

    // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot
    swap(arr, l, (int) (Math.random() * (r - l + 1)) + l);
    Comparable v = arr[l];
    int i = l + 1, j = r;
    while (true) {
        // 注意这里的边界, arr[i].compareTo(v) < 0, 不能是arr[i].compareTo(v) <= 0
        // 不加等号如果遇到相等的情况，这时候while循环就会退出，即交换i和j的值，使得对于包含大量相同元素的数组， 双方相等的数据就会交换，这样就可以一定程度保证两路的数据量平衡

        // 从i开始向后遍历，如果遍历的元素e<v，则继续向后遍历，直到遍历的元素e>=v，则停止遍历
        while (i <= r && arr[i].compareTo(v) < 0) {
            i++;
        }
        // 从j开始向前遍历，如果遍历的元素e>v，则继续向前遍历，直到遍历的元素e<=v，则停止遍历
        while (j >= l + 1 && arr[j].compareTo(v) > 0) {
            j--;
        }
        if (i >= j) {
            break;
        }
        swap(arr, i, j);
        i++;
        j--;
    }
    // 此时j指向的元素是数组中最后一个小于v的元素, i指向的元素是数组中第一个大于v的元素
    swap(arr, l, j);
    return j;
}

三路快速排序

三路快速排序的步骤如下：

1. 在双路快速排序的基础上，我们把等于v的元素单独作为一个部分。lt指向小于v部分的最后一个元素，gt指向大于v部分的第一个元素。

   

2. 从i开始向后遍历，如果遍历的元素e=v，则e直接合并到=v部分，然后i++继续遍历。如果遍历的元素e<v，则将e和=v部分的第一个元素（lt+1指向的元素）交换，然后lt++，i++继续遍历。如果遍历的元素e>v，则将e和>v部分前一个元素（gt-1指向的元素）交换，然后gt--，不过此时i不需要改变，因为i位置的元素是和gt位置前面的空白元素交换过来的。
3. 遍历完后i=gt，然后将l指向元素和lt指向元素交换。

   

4. 对<v部分和>v部分进行以上操作。

三路快速排序相比双路快速排序的优势在于：减少了对重复元素的比较操作，因为重复元素在一次排序中就已经作为单独一部分排好了，之后只需要对不等于该重复元素的其他元素进行排序。

三路快速排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    sort(arr, 0, n - 1);
}

private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r) {
    
    // 对于小规模数组, 使用插入排序
    if (r - l <= 15) {
        InsertionSort.sort(arr, l, r);
        return;
    }
    // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot
    swap(arr, l, (int) (Math.random() * (r - l + 1)) + l);
    Comparable v = arr[l];
    int lt = l;     // arr[l+1...lt] < v
    int gt = r + 1; // arr[gt...r] > v
    int i = l + 1;    // arr[lt+1...i) == v
    while (i < gt) {
        if (arr[i].compareTo(v) < 0) {
            swap(arr, i, lt + 1);
            i++;
            lt++;
        } else if (arr[i].compareTo(v) > 0) {
            swap(arr, i, gt - 1);
            gt--;
        } else { // arr[i] == v
            i++;
        }
    }
    swap(arr, l, lt);

    sort(arr, l, lt - 1);
    sort(arr, gt, r);
}

总结

本文介绍了快速排序、快速排序的优化、双路快速排序和三路快速排序。

对于快速排序，我们需要选择合适的标定点，使得标定点的两边平衡；在快速排序中递归到小数组时，我们可以使用插入排序替换递归，减少不必要的开销。

对于双路快速排序和三路快速排序，我们使用的场合是数组中存在大量重复元素。

最后，提示一下 JDK 底层的排序使用的就是插入排序 + 双路快速排序 + 归并排序的组合。