1335. 工作计划的最低难度
Hi 大家好，我是张小猪。欢迎来到『宝宝也能看懂』系列之 leetcode 周赛题解。
这里是第 173 期的第 4 题，也是题目列表中的第 1335 题 -- 『工作计划的最低难度』
题目描述
你需要制定一份 d 天的工作计划表。工作之间存在依赖，要想执行第 i 项工作，你必须完成全部 j 项工作（0 <= j < i）。
你每天 至少 需要完成一项任务。工作计划的总难度是这 d 天每一天的难度之和，而一天的工作难度是当天应该完成工作的最大难度。
给你一个整数数组 jobDifficulty 和一个整数 d，分别代表工作难度和需要计划的天数。第 i 项工作的难度是 jobDifficulty[i]。
返回整个工作计划的 最小难度。如果无法制定工作计划，则返回 -1。
示例 1：
输入：jobDifficulty = [6,5,4,3,2,1], d = 2
输出：7
解释：第一天，您可以完成前 5 项工作，总难度 = 6.
第二天，您可以完成最后一项工作，总难度 = 1.
计划表的难度 = 6 + 1 = 7示例 2：
输入：jobDifficulty = [9,9,9], d = 4
输出：-1
解释：就算你每天完成一项工作，仍然有一天是空闲的，你无法制定一份能够满足既定工作时间的计划表。示例 3：
输入：jobDifficulty = [1,1,1], d = 3
输出：3
解释：工作计划为每天一项工作，总难度为 3 。示例 4：
输入：jobDifficulty = [7,1,7,1,7,1], d = 3
输出：15示例 5：
输入：jobDifficulty = [11,111,22,222,33,333,44,444], d = 6
输出：843提示：
1 <= jobDifficulty.length <= 3000 <= jobDifficulty[i] <= 10001 <= d <= 10
官方难度
HARD
解决思路
题目内容看起来似乎有一点绕，我们把它剥去包装的外衣之后看看。其实就是一个由正整数组成的数组，需要把它分成 d 段，每一段至少有 1 个数字，并且每一段的值为这一段数字中最大的那个数。完成分段后便可以计算出所有分段的值的总和，需要返回这个总和的最小值。如果不能被拆分成 d 段则返回 -1。
看完题目之后，小猪的第一反应是，先把特殊情况处理掉吧。由于每一段至少需要一个数字，所以如果当数字的总数不够 d 的时候，也就无法完成拆分。这时候提前返回 -1 即可。另外，其实如果数字的总数就是 d 的话，那么拆分情况只有一种。这时候也可以提前返回了。不过这个看小伙伴们的个人爱好吧，毕竟也是可以和其他情况一起被计算的。
然后就到了核心的问题，我们应该如何拆分呢？
乍看起来我们是不是应该尽量把比较大的数划分到一段里？又或者和平均数、中位数什么的有关系？如果从这个角度去思考的话，可能会发现这样想起来会陷入泥潭。例如假设现在有 5 个数 [a, b, c, d, e]，需要被分成 3 段，那么可能的分发会有多种。假设我们现在拿到了平均数或者中位数，又该怎么判断呢？
小猪脑子苯苯的，数学又超烂，想不到这里应该如何用数学的方式去处理。所以，那就换个思路吧，我们试试用计算机的方式来处理。因为没有想到什么可用的区分条件，所以就发挥计算机的特长，枚举出所有可能，然后就能知道总和的最小值啦。摸摸猪鼻子，小猪真机智 >.<
为了得到所有的可能情况，我们可以想一些这些情况是如何产生的。下图是把 4 个数拆分成 2 段的情况：
然后我们再来看看把 5 个数拆分成 3 段的情况：
不知道小伙伴们有没有从上面的两个图中看出点什么，其实小猪这里不同拆分情况的排列顺序已经能体现这里的思路啦。我们从上往下看，会发现每一次我们都是把当前段落取到了极值。拆分为 2 段的时候，第一段就是当前段落，我们逐渐把它取到极值就得到了所有的可能性。拆分为 3 段的时候，我们先把第 1 段作为当前段落，取到极值；然后再针对第 1 段的不同情况，把第 2 段作为当前段落，取到极值。这样我们逐渐也就得到了所有可能情况。
那么，其实拆分成 d 段也是同一个道理。我们把当前段落不断的取到极值，并且作为下一段的开始条件，直到我们拆分到了最后一段。我们可以把它想象成是一颗分叉很多的树，不断的走完所有路径，我们也就得到了所有的可能情况。
深度优先遍历
既然说到了对于树的遍历，那我们就先尝试着用深度优先遍历来实现一下吧，并且递归写起来也比较简单嘛。这里稍微说一下递归函数的设计过程吧。
首先，我们明确一下这个递归函数的功能。我们希望它能返回把一段数据拆分成 n 段的最小总和。那么基于这个目的，我们的返回值就明确啦。
接下来，基于上面的思路，我们来看看函数的参数。由于终止条件是我们的拆分达到了最后一段，所以参数中一定需要还剩余待拆分的段数。另外，在拆分的过程中，我们也需要知道上一段的拆分的状况，也就是这一段拆分所开始的位置。所以参数中也一定需要当前所处的位置。
最后，有了思路，也想好了如何实现递归，接下来淦就完事啦。具体流程如下：
- 特殊情况判断。
- 初始化缓存并开始递归。
- 根据分析实现结束条件和处理。
- 逐渐取到当前段落的极值，并继续递归。
根据上面的流程，我们可以得到类似下面的代码：
const minDifficulty = (jobDifficulty, d) => {
const LEN = jobDifficulty.length;
if (LEN < d) return -1;
const cache = new Map();
return helper(0, d);
function helper(idx, count) {
const key = idx * 100 + count;
if (!cache.has(key)) {
if (count === 1) {
let max = 0;
for (let i = idx; i < LEN; ++i) {
jobDifficulty[i] > max && (max = jobDifficulty[i]);
}
return max;
}
let min = 10000;
let curMax = 0;
for (let i = idx; i <= LEN - count; ++i) {
if (jobDifficulty[i] > curMax) curMax = jobDifficulty[i];
min = Math.min(min, curMax + helper(i + 1, count - 1));
}
cache.set(key, min);
}
return cache.get(key);
}
};动态规划
接下来我们来换个思路。先来定义两个符号吧：
- 我们假设当前的位置是
i，然后从i开始我们还差j次拆分没有做。我们把当前状态下的这个最小值记作dp[i][j]。 - 我们从原始数组中截取下标从
i开始到j的一段，这一段里的最大值我们记作max(i, j)。
基于上面的定义，首先可以得到的就是我们的目标，即算出 dp[0][d]。那么我们可以先看看我们目前有什么数据：
- 由于只拆分一次的话相当于就是求最大值，是可以直接算出结果的。所以，我们目前可以直接得到
dp[n - 1][1]、dp[n - 2][1]...dp[0][1]这些值。 - 如果剩余的数量和我们要拆分的数量一样，那么拆分也值有一种可能，即每一段都是一个值。所以，对于我们来说也是一个可以直接算出来的值。例如
dp[n - 2][2]、dp[n - 3][3]...dp[n - d][d]。 - 由于有原始数组，所以
max(i, j)也是可以直接计算出来的值。
那么接下来，基于我们已经有的数据，再来看看还可以得到那些其他的值。首先，我们来看看之前图里的那个栗子吧 -- dp[n - 4][2]，它可能会有哪些情况：
dp[n - 3][1] + max(n - 4, n - 4)dp[n - 2][1] + max(n - 4, n - 3)dp[n - 1][1] + max(n - 4, n - 2)
不知道有没有小伙伴发现，其实这里的几个值都是在我们上面当前可以直接计算出的数据里的。再来看个更复杂一点的，之前图里的栗子 -- dp[n - 5][3]，它可能的情况会有这些：
dp[n - 3][1] + max(n - 5, n - 5) + max(n - 4, n - 4)dp[n - 2][1] + max(n - 5, n - 5) + max(n - 4, n - 3)dp[n - 1][1] + max(n - 5, n - 5) + max(n - 4, n - 2)dp[n - 2][1] + max(n - 5, n - 4) + max(n - 3, n - 3)dp[n - 1][1] + max(n - 5, n - 4) + max(n - 3, n - 2)dp[n - 1][1] + max(n - 5, n - 3) + max(n - 2, n - 2)
阿勒？是不是觉得我们已经发现了什么？不过如果我们一直这样展开下去，项数便会越来越多。那么是否可以减少一些项数呢？我们可以详细的看一下 dp[n - 5][3] 里面的内容，再对比 dp[n - 4][2] 的内容。如果还不够清晰，我们再补充一下下面两条内容：
-
dp[n - 3][2]展开后：dp[n - 2][1] + max(n - 3, n - 3)dp[n - 1][1] + max(n - 3, n - 2)
-
dp[n - 2][2]展开后：dp[n - 1][1] + max(n - 2, n - 2)
嘿嘿，这下是不是就和 dp[n - 5][3] 的内容都一一对应上了呀。小猪开心的扭了扭尾巴 >.<
最后，我们把它抽象成 dp[i][j] 吧：
dp[i][j] = Math.min(
dp[i + 1][j - 1] + max(i, i),
dp[i + 2][j - 1] + max(i, i + 1),
...
dp[n - j + 1][j - 1] + max(i, n - j)
);有了这个递推公式以后，剩下的就是实现即可。具体流程如下：
- 特殊情况判断。
- 初始化
dp数组和为段为 1 的值。 - 根据递推公式推导多个分段的结果。
- 返回结果。
const minDifficulty = (jobDifficulty, d) => {
const LEN = jobDifficulty.length;
if (LEN < d) return -1;
const dp = Array.from({ length: LEN }, () => new Uint16Array(d + 1).fill(10000));
for (let i = LEN - 1, curMax = 0; i >= 0; --i) {
jobDifficulty[i] > curMax && (curMax = jobDifficulty[i]);
dp[i][1] = curMax;
}
for (let i = 2; i <= d; ++i) {
for (let j = 0; j <= LEN - i; ++j) {
let max = 0;
for (let k = j; k <= LEN - i; ++k) {
jobDifficulty[k] > max && (max = jobDifficulty[k]);
dp[j][i] = Math.min(dp[j][i], dp[k + 1][i - 1] + max);
}
}
}
return dp[0][d];
};优化
按照惯例，我们把这个二维 dp 优化成一维的吧。改动其实并不大，主要就是迭代过程中不断的覆盖之前的值，以达到缩减成一维数组的目的。具体代码如下：
const minDifficulty = (jobDifficulty, d) => {
const LEN = jobDifficulty.length;
if (LEN < d) return -1;
const dp = new Uint16Array(LEN + 1);
for (let i = LEN - 1; i >= 0; --i) {
dp[i] = jobDifficulty[i] > dp[i + 1] ? jobDifficulty[i] : dp[i + 1];
}
for (let i = 2; i <= d; ++i) {
for (let j = 0; j <= LEN - i; ++j) {
let max = 0;
dp[j] = 10000;
for (let k = j; k <= LEN - i; ++k) {
jobDifficulty[k] > max && (max = jobDifficulty[k]);
dp[j] > dp[k + 1] + max && (dp[j] = dp[k + 1] + max);
}
}
}
return dp[0];
};这段代码目前跑出了 52ms，暂时 beats 100%。
再优化
这里在最内层循环中，我们可以尝试不去遍历所有内容，而是通过一个内容有序的栈来做判断和记录，以尽量减少这里的计算次数。具体代码如下：
const minDifficulty = (jobDifficulty, d) => {
const LEN = jobDifficulty.length;
if (LEN < d) return -1;
const dp = new Uint16Array(LEN);
dp[0] = jobDifficulty[0];
for (let i = 1; i < LEN; ++i) {
dp[i] = jobDifficulty[i] > dp[i - 1] ? jobDifficulty[i] : dp[i - 1];
}
for (let i = 1; i < d; ++i) {
const stack = [];
let old = dp[i - 1];
for (let j = i; j < LEN; ++j) {
let min = old;
while (stack.length && jobDifficulty[stack[stack.length - 1]] <= jobDifficulty[j]) {
const top = stack.pop();
min = Math.min(min, dp[top] - jobDifficulty[top]);
}
old = dp[j];
dp[j] = min + jobDifficulty[j];
if (stack.length) {
const top = dp[stack[stack.length - 1]];
top < dp[j] && (dp[j] = top);
}
stack.push(j);
}
}
return dp[LEN - 1];
};这段代码目前跑出了 48ms，代替了之前的代码暂时 beats 100%。
总结
这道题的核心内容又是在 HARD 难度中很常见的动态规划问题。小猪这里通过栗子和罗列数据，一步一步的推导出动态规划的递推公式，希望能够帮到对这一部分还不太清晰的小伙伴们。至于后续的两次优化，小猪觉得只是锦上添花而以。可有可无，看看就好啦。
发现我们似乎已经说过好几次动态规划的问题了，小伙伴们有没有找到一点其中的小技巧呢？小猪也想知道呢，哼唧 >.<
加油武汉，天佑中华
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