PTA_数据结构学习与实验指导_题解_2-3.1 海盗分赃

满眼星辰

进阶实验2-3.1 海盗分赃

 P 个海盗偷了 D 颗钻石后来到公海分赃,一致同意如下分赃策略:
 首先,P 个海盗通过抽签决定 1 - P 的序号。然后由第 1 号海盗提出一个分配方案(方案应给出每个海盗分得的具体数量),如果能够得到包括 1 号在内的绝对多数(即大于半数)同意,则按照该分配方案执行,否则 1 号将被投入大海喂鲨鱼。而后依次类似地由第 2 号、第 3 号等等海盗提出方案,直到能够获得绝对多数同意的方案出现为止,或者只剩下最后一位海盗,其独占所有钻石。

附带的三个假定:

  • “聪明”与“贪婪”假定:每个海盗总能够以本人利益最大化作为行为准则;
  • “人性化”假定:在能够取得尽量多钻石的情况下,海盗不会故意致同伙于死地;
  • “无偏见”假定:海盗之间没有个人恩怨,分给其他海盗钻石的次序以小序号优先为原则。

 请编写一个程序,给出第 1 号海盗的钻石分配方案中自己分得的钻石数量。
输入格式:
 输入在一行中给出 2 个正整数 D 和 P(3≤P≤D≤100)。
输出格式:
 输出第 1 号海盗的钻石分配方案中自己分得的钻石数量。
输入样例:

10 7   

输出样例1:

6

题目:进阶实验2-3.1 海盗分赃 (25分)

算法分析

 说实话一开始我没看懂什么意思。瞎写了一个只给前 $ \frac {P-1}2$ 个海盗一个人一个钻石的代码...居然还过了几个测试点...
 然后正经分析了一下。发现这题其实就是递推。首先每个海盗考虑利益最大化,所以第 $i$ 个海盗只要在第 $i-1$ 个海盗的方案基础上争取到拿到最少钻石的半数海盗就好了。
 下面拿样例数据模拟一下。

只有一个海盗的时候:

image.png

十个都给自己,没有疑问。

两个海盗的时候:

image.png

如果6号海盗敢给自己哪怕一个钻石,7号海盗也不会同意。所以6号为了不被喂鱼,只能全部给七号。

三个海盗的时候:

image.png

此时,只需要2个人同意5号海盗的分配方案,他就不会被扔下海喂鱼。那么原本6号海盗一个钻石都拿不到,5号只需要给他一个,便能争取到这一票,此时7号海盗给不给都无所谓了,为了利益最大化,必然一个都不给他。

四个海盗的时候:

image.png

同理。4号海盗需要争取超过半数的同意,即三个人。那么他只要争取到5号海盗给出方案中获利最少的两个人的同意便可。即7号和6号。

递推至七个海盗的情况可得:

image.png

所以我们得到了结论:
第 $i$ 个海盗的分配方案只与第 $i-1$ 个海盗的方案有关。
 所以我们从两个海盗的情况开始递推,便可得到第P个海盗的方案。
 初始时,编号为 $P$ 的海盗必然是 $D$ 个钻石,编号为 $P-1$ 的海盗 $0$ 个钻石。
 接下来第 $i$ 个海盗,需要在前 $i-1$ 个海盗中争取获利最少的$ \lfloor j=\frac {i}2 \rfloor $个海盗的支持。
 遍历数组,寻找前 $j$ 个小的数, 将它们逐个加一,剩余的数置为 $0$ ,递推这个操作即可。

代码

 非常简洁有力的代码。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
    int d, p, a[100]={0}, f[100]={0};
    scanf("%d %d", &d, &p);
    a[--p] = d;
    int n = p-1, min = 101, count = 0, pos = -1, sum = 0;
    while(n--){
        sum = (p-n+1)/2;  /* 需要争取sum个海盗的支持 */ 
        for(int i=0; i<sum; i++){ /* 找寻当前数组未被标记的最小数,标记后+1 */
            for(int j=n+1; j<=p; j++){
                if(a[j] < min && f[j] == 0){
                    min = a[j]; 
                    pos = j;
                }
            }
            a[pos]++;
            f[pos]++;
            min = 101;
        }
        int k = 0; /* 未被+1的数置0 */
        for(int j=n+1; j<=p; j++){
            if(!f[j]) a[j] = 0;
                else k += a[j];
        }
        a[n] = d - k;
        memset(f, 0, sizeof(f));  /* 清空标记数组f */
    }
    printf("%d\n", a[0]);
    return 0;
}

小结

 遇到题目不能想当然了。本次题目不难,又划个水。但是思维方式是通用的。贪心?递推?

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计算机硕士研究生。

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