【数据结构】71_图的定义与操作

图的定义

图是由顶点集合（Vertex）及顶点间的关系集合（Edge）组成的一种数据结构 : Graph = (V, E)

V = {X | X ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合
E = {(x, y) | x, y ∈ V} 是顶点之间关系的有穷集合

图的分类

思考：G1,G2,G3,G4 都是图吗？有什么异同？可以继续分类吗？

• 无向边

  • 顶点 x 和 y 之间的边没有方向，则称该边为无向边
  • (x,y) 与 (y,x) 意义相同，表示 x 和 y 之间有连接

• 无向图

  • 图中任意两个顶点之间的边均是无向边，则称该图为无限图

• 有向边

  • 顶点 x 和 y 之间的边有方向，则称该边为有向边
  • <x,y> 表示从 x 连接到 y, x 称为尾， y 称为头
  • <y,x> 表示从 y 连接到 x, y 称为尾， x 称为头

• 有向图

  • 途中任意两个顶点之间的边均是有向边，则称该图为有向图

顶点邻接（Adjacent）的定义

• 无向图

  • 如果 (x, y) ∈ E， 则称顶点 x 和 y 互为邻接

• 有向图

  • 如果 <x, y> ∈ E， 则称顶点 x 邻接到顶点 y

度(Degree)的定义

• 顶点 v 的度是 v 相关联的边的数目，记为 TD(v)

  • 入度： 以 v 为头的边的数目，记为 ID(v)
  • 出读： 以 v 为尾的边的数目，记为 OD(v)

推论

• TD(v) = ID(v) + OD(v)
• Count(E) = ID(v1) + ID(v2) + ... + ID(vn)
• Count(E) = OD(v1) + OD(v2) + ... + OD(vn)
• Count(E) = [TD(v1) + TD(v2) + ... + TD(vn)] / 2

权(Weight)的定义

• 与图的边相关的数据元素叫做权
• 权常用来表示图中顶点间的距离或耗费

图的一些常用操作

• 设置顶点的值
• 获取顶点的值
• 获取邻接顶点
• 设置边的值
• 删除边
• 获取顶点数
• 获取边数
• 。。。

图的数据类型

图在程序中表现为一种特殊的数据类型

template <typename V, typename E>
class Graph : public Object
{
public:
    virtual V getVertex(int i) = 0;
    virtual bool getVertex(int i, V &value) = 0;
    virtual bool setVertex(int i, const V &value) = 0;
    virtual SharedPointer<Array<int>> getAdjacent(int i) = 0;
    virtual E getEdge(int i, int j) = 0;
    virtual bool getEdge(int i, int j, E &value) = 0;
    virtual bool setEdge(int i, int j, const E &value) = 0;
    virtual bool removeEdge(int i, int j) = 0;
    virtual int vCount() = 0;
    virtual int eCount() = 0;
    virtual int OD(int i) = 0;
    virtual int ID(int i) = 0;
    virtual int TD(int i)
    {
        return OD(i) + ID(i);
    }
};

编程实验：图抽象类的创建

文件：Graph.h

#ifndef GRAPH_H
#define GRAPH_H

#include "Object.h"
#include "SharedPointer.h"
#include "Array.h"

namespace DTLib
{

template <typename V, typename E>
class Graph : public Object
{
public:
    virtual V getVertex(int i) = 0;
    virtual bool getVertex(int i, V &value) = 0;
    virtual bool setVertex(int i, const V &value) = 0;
    virtual SharedPointer<Array<int>> getAdjacent(int i) = 0;
    virtual E getEdge(int i, int j) = 0;
    virtual bool getEdge(int i, int j, E &value) = 0;
    virtual bool setEdge(int i, int j, const E &value) = 0;
    virtual bool removeEdge(int i, int j) = 0;
    virtual int vCount() = 0;
    virtual int eCount() = 0;
    virtual int OD(int i) = 0;
    virtual int ID(int i) = 0;
    virtual int TD(int i)
    {
        OD(i) + ID(i);
    }
};

}

#endif // GRAPH_H

小结

• 图是顶点与边的集合，是一种非线性的数据结构
• 图中顶点可以与多个其他顶点产生邻接关系
• 图中的边有与之对应的权值，表示顶点间的距离
• 图在程序中表现为特殊数据类型

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