二维水波的离散波动方程

有能力者去看原文http://www.mtnmath.com/whatrh...，以下为google翻译并人工润色一些

离散模型可以将连续模型近似为任何所需的精度。 开发这样的近似值是应用数学的重要领域。 这些近似在量子力学中被广泛使用。 无法在数字计算机上对连续方程建模。 因此，离散逼近提供了解决许多问题的唯一实用方法。

可以研究离散波模型以了解其固有属性，而不仅仅是研究如何将其用于建模可能不存在的连续现实。 这方面的工作很少。 无疑，此类模型的复杂性是原因之一。 为了理解这种模型的外观，我们从波动方程开始，该波动方程可以被称为物理学的通用方程，因为它在很多情况下都存在。 我们可以从连续波方程开始生成离散波模型。

该符号定义了偏微分方程。 尽管它的外观令人生畏，但它说的很简单。 可以想像成湖中某个点的水位。 此等式描述了级别如何根据其紧邻范围内的条件而变化。 该方程式适用于湖上的每个点，因此我们可以用它来模拟波浪的动态行为。等号左侧的术语是此时水平加速度上下的速率。 右边的术语将同一点上每个空间维度上的加速度求和。 对于湖面，有两个空间维度。

$c$ 是波速。 等式表示，水平在给定点上随时间加速的速率与该点在空间上在各个维度上在各个点上加速的速率之和成比例。

波动方程是物理学的通用方程。 它适用于水，表面上的光，声，波等等。 相对论的薛定谔方程描述了零质量为零的单个粒子的波函数的量子力学演化。

有多种方法可以离散波动方程。 最简单的方法之一是定义点的网格或数组。我们仅考虑选定的点。 这些点之间的距离越近，对连续情况的近似就越准确，并且计算就越耗时。 为了使事情简单，我们将考虑空间的二维和时间的二维。 转到三个空间维度很简单。

索引是为了放置网格中的点。 $f_{x,y,t}$ 是点 $x,y$ 在时间 $t$的位置。 这个点在空间上有四个邻居点，即 $f_{x+1,y,t}$, $f_{x-1,y,t}$, $f_{x,y+1,t}$ 和$f_{x,y-1,t}$。类似的，在时间上有两个邻居点: $f_{x,y,t+1}$ 和 $f_{x,y,t-1}$。

当点之间的距离变为零时，通过采用有限间隔位置的极限来定义连续微分方程。 一阶差是通过沿相关维度（时间，x位置或y位置）减去相邻值来计算的。 一阶时间差是：

或波动方程不使用一阶差或变化率。 它使用二阶差或加速度。 为了获得二阶差，我们计算差的差。

从微分方程生成差分方程时，必须考虑网格上各点的时间和距离比例。 在本例中，我们将这些常数与波速结合在一起。

$c$ 产生了新的常数 $c_d$。用一个一阶差分减去另一个一阶差分可以得到一个二阶差分。即 $f_{x,y,t+1} + f_{x,y,t-1} - 2 f_{x,y,t}$.。

$x$ 和维度有两个空间差异， 但它们却能用相同的方向计算，这就是符号$\nabla^2$ 的含义。结果就是最终的差分方程

简化一下能让我们更方便地计算出 ($f_{x,y,t+1}$) 。

为了完全数字化方程式，我们必须限制 f 到一组离散值，例如整数。 表达式 $c_d^2$ 如果差分方程式近似于连续波方程式，则必须小于1。 因此，我们必须在方程式中添加一个元素，以消除非整数值的可能性。 为了简单起见，我们让所有数字趋近于 $0$ 。也就是说$1.8$将会被截断到 $1$ 而 $-1.8$ 截断到 $-1$。我们使用T来表达我们这种方程。

表7.1显示了完全离散的有限差分方程。 该图还显示了使用以下方程式，初始状态如何在几个时间步长内演化： $^{C_{d}^{2}}$ 设置为 $\frac{1}{4}$。