矩阵的Cholesky分解

矩阵的Cholesky分解
如果矩阵A是正定的，那么它可以被（唯一地）分解为一个主对角不为零的下三角矩阵L和其共轭转置L*的乘积，这就是所谓的“矩阵的Cholesky分解”。对于实矩阵而言，即A=LLT，其中L是一个下三角矩阵。下面是一个3×3的矩阵Cholesky分解的示意。

具体要如何来计算Cholesky分解的值呢？通过观察，结合矩阵乘法的规则，不难发现矩阵L对角线上的元素可以由如下规律算得：

推广后得到：

对于那些位于对角线以下的元素_lik_，其中_i_>_k_，则会有下面这样的计算规律：

仍然可以推广得到一个更加普适的公式：

最后一个问题，Cholesky分解在实际中有什么用？其中一个非常重要的应用就是解方程组 Ax = B，其中A是一个正定矩阵。因为A是一个正定矩阵，所以有A =LLT，其中L是一个下三角矩阵。原方程组可以写成 LLTx = B。如果令 y = LTx ，则有Ly = B。注意到其中L是一个下三角矩阵，所以从下向上求解y是非常非常容易的！求解出y之后，在按照类似的方法求解y = LTx 中的 x，而其中LT是一个上三角矩阵，所以最终求出 x 就也是非常非常容易的！

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参考博客：
原文链接：https://blog.csdn.net/baimafu...