Gamma函数

本文只讨论实数域上的Gamma函数 $\Gamma(x),x\in\mathbb{R}.$

Gamma函数是阶乘 $n!$ 在实数域上的扩展，表达式为
$$\Gamma(x)=\int^{\infty}_0t^{x-1}e^{-t}dt,$$
满足”阶乘“运算
$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$$

下面列举Gamma函数的一些性质及证明。

性质一：$\Gamma(1)=1.$

证明：
$$\Gamma(1)=\int^{\infty}_0e^{-t}dt=-e^{-t}|^\infty_0=0-(-1)=1.$$

性质二：$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$

证明：根据分部积分法
$$\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x),$$
可以得到

$$ \begin{align}\Gamma(x+1)&=\int^\infty_0t^xe^{-t}dt=-\int^\infty_0t^xde^{-t}\\ &=-t^xe^{-t}|^\infty_0+\int^\infty_0e^{-t}dt^x=\int^\infty_0e^{-t}dt^x\\ &=\int^\infty_0xt^{x-1}e^{-t}df=x\int^{\infty}_0t^{x-1}e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x).\end{align}$$ **`性质三：`**$\Gamma(n)=(n-1)!,n\in\mathbb{Z}^+.$ 证明： $$\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=\Pi^{n-1}_1\Gamma(1)=(n-1)!.$$