PLA：从线性可分到线性不可分的演化过程

从线性可分到线性不可分

PLA 从线性可分到线性不可分，有 3 种不同的形态。

线性可分：PLA

一点点错误：Pocket Algorithm

严格非线性：$Φ(X)$ + PLA

接下来，详细解释下，这三种模型如何而来。

PLA 的演变过程

PLA 全称是 Perceptron Linear Algorithm，即线性感知机算法，属于一种最简单的感知机（Perceptron）模型。

感知机模型是机器学习二分类问题中的一个非常简单的模型。它的基本结构如下图所示：

其中，$x_i$ 是输入，$w_i$ 表示权重系数，b 表示偏移常数。感知机的线性输出为：

$y=\sum_{i=1}^Nw_ix_i+b$

$y=\{+1,-1\}$

其中，y={+1, -1}。简单来说，它由线性得分计算和阈值比较两个过程组成，最后根据比较结果判断样本属于正类还是负类。

1. PLA 分类的原理

对于二分类问题，可以使用感知机模型来解决。PLA 的基本原理就是逐点修正，首先在超平面上随意取一条分类面，统计分类错误的点；然后随机对某个错误点就行修正，即变换直线的位置，使该错误点得以修正；接着再随机选择一个错误点进行纠正，分类面不断变化，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最佳的分类面。

利用二维平面例子来进行解释，第一种情况是错误地将正样本 ( y = 1) 分类为负样本 ( y = -1 )。此时，$wx<0$，即 $w$ 与 $x$ 的夹角大于 90 度，分类线 $l$ 的两侧。修正的方法是让夹角变小，修正 $w$ 值，使二者位于直线同侧：

$w:=w+x=w+yx$

修正过程示意图如下所示：

第二种情况是错误地将负样本 ( y = -1) 分类为正样本 ( y = 1 )。此时，$wx>0$，即 $w$ 与 $x$ 的夹角小于 90 度，分类线 $l$ 的同一侧。修正的方法是让夹角变大，修正 $w$ 值，使二者位于直线两侧：

$w:=w-x=w+yx$

修正过程示意图如下所示：

经过两种情况分析，我们发现 PLA 每次 $w$ 的更新表达式都是一样的：$w:=w+yx$。掌握了每次 $w$ 的优化表达式，那么 PLA 就能不断地将所有错误的分类样本纠正并分类正确。

2. Pocket Algorithm：允许一点错误

为了避免上面线性不可分的情况，将PLA的条件放宽一点，不再要求所有的样本都能正确的分开，而是要求犯错误的样本尽可能的少，即将问题变为了：

$argmin\sum_{n=1}^N\{y_n≠sign(w^Tx_n)\}$

也就是说去寻找一条犯错最少的线或者超平面。

其实，从实际意义上，是不能的，这是一个 NP hard 问题，因为线有无穷多个。无法求出最优解，因此只能求尽可能接近其最优解的近似解，这种方法被称为 Pocket Algorithm，口袋算法。

口袋算法属于贪心的思想，它总是让遇到的最好的线或超平面拿在自己手里。

简单介绍一下：首先，我们有一条分割线 $w(t)$，将数据实例不断带入，发现数据点 $(x_n,y_n)$ 在上面出现错误分类，那么我们就纠正分割线得到 $w(t+1)$，如果 $w(t+1)$ 犯的错误少，就将 $w(t+1)$ 放到口袋里，否则 $w(t)$ 不变。

那么如何让算法停下来呢？

由于口袋算法得到的线越来越好 (PLA 就不一定了，PLA 是最终结果最好)，所以我们就自己规定迭代次数。

Pocket Algorithm 与 PLA 相比？

线性可分的情况下：PLA 更好。先不说 PLA 可以找到最好的那条线，单从效率上来说，PLA 也更好些，最主要的原因是，Pocket Algorithm 每次比较的时候，都要遍历所有的数据点，且两个算法都要遍历一遍，才会决定那个算法好，而这还是比较一次，如果我们让他迭代 500 次的，那就麻烦了。

线性不可分的情况下：如果线性不可分，只能用 Pocket Algorithm，因为 PLA 根本不会停下来（而且 PLA 的 $w(t)$ 也不是每更改一次效果就会比之前的好）

总结

1. Pocket Algorithm 事先设定迭代次数，而不是等着算法自己收敛到最优。
2. 随机遍历数据集，而不是循环遍历。
3. 遇到错误点校正时，只有当新得到的 $w$ 对于所有的数据优于旧 $w$ 的时候（也就是整体错误更少的时候）才更新，而 PLA 算法中，只要出现错误分类就更新。由此也可知，pocket Algorithm 算法是保证每次得到的线或平面面是越来越好的，而 PLA 算法不一定。而且，由于Pocket 要比较错误率，需要计算所有的数据点，因此效率要低于 PLA。所以在线性可分的数据集上，使用 PLA 算法，而不选择使用 Pocket 算法。但是，只要迭代次数足够多，Pocket 和 PLA 的效果是一样的，都能够把数据完全正确分开，只是速度慢。

3. 线性可分到线性不可分

PLA 的非线性可分类似 SVM 的对偶问题一样，在所有 $w$ 和 $b$ 的更新中，假设 $x_i$ 点贡献了 $n_i$ 次，令 $α_i=n_iη$，则 $w, b$ 可表示为：

$w=\sum_{i=1}^Nα_iy_ix_i$

$b=\sum_{i=1}^Nα_iy_i$

所以感知机的模型又可以表示成：

$f(x)=sign(\sum_{j=1}^Nα_jy_jx_j.x+b), s.t. y_i(\sum_{j=1}^Nα_jy_jx_j+b)<=0$

将 PLA 的输入空间通过核函数映射到高维，实现线性可分。

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