[基础算法]B树

B 树

B树的定义

根据 Knuth 的定义，一个B树需要满足以下规则：

• 每一个节点，都最多拥有m个子节点。 (Every node has at most m children)
• 每一个非叶子的节点（不包括根节点），都最少拥有m/2个子节点。 (Every non-leaf node (except root) has at least ⌈m/2⌉ child nodes)
• 在根节点不是叶子节点时，最少拥有两个子节点。(The root has at least two children if it is not a leaf node)
• 一个拥有K个子节点的非叶子节点，拥有k - 1个关键字。(A non-leaf node with k children contains k − 1 keys)
• 所有叶子节点都出现在同一个层级，且不携带任何数据。(All leaves appear in the same level and carry no information)

B树的插入过程

m阶B树的插入过程如下:

1. 初始化root节点，并向其中插入数据

2. 当root节点数据超过m时，进行分裂，分裂过程如下：

   1. 获取root节点中数据的中间值k
   2. root节点中，所有数值小于k的数据，全部取出行成左叶子节点
   3. root节点中，所有数值大于k的数据，全部取出行成右叶子节点
   4. k值保留在root节点中
3. 根据数据，向叶子节点插入数据

4. 当某一个叶子节点中的数据超过m时，叶子节点进行分裂，分裂过程如下：

   1. 获取该叶子节点的中间值k
   2. 该叶子节点中，所有数值小于k的数据，全部取出行成新的叶子节点，并与该叶子节点的父节点相连
   3. 该叶子节点中，所有数值大于k的数据，全部取出行成新的叶子节点，并与该叶子节点的父节点相连
   4. k值上移到该叶子节点的父节点

5. 重复步骤3-4，直到该叶子节点的父节点数据超过m，开始进行新一层节点的生成，具体步骤如下：

   1. 获取该叶子节点的父节点的中间值k
   2. 所有数据小于k的数据，全部取出行成左叶子节点与该叶子节点的父节点相连，然后，所有与该叶子节点的父节点相连的叶子节点中最大值小于k的节点与新的左叶子节点相连
   3. 所有数据大于k的数据，全部取出行成右叶子节点与该叶子节点的父节点相连，然后，所有与该叶子节点的父节点相连的叶子节点中最小值大于k的节点与新的右叶子节点相连
6. 重复步骤3-5

设置m=3，然后插入[1...25]的过程如下：

B树的删除过程

m阶B树的删除过程如下：

1. 查找key对应的位置

2. 根据key对应的位置，在删除之后做不同的操作，具体情形如下：

   1. 如果key对应的节点是一个内部节点x(internal node)，那么需要按照以下三种情况做判断：

      1. 如果x节点的子节点中，数据小于k的最邻近子节点y中存在大于t个数据，则在完成k的删除之后，将y节点中数值最大的数据挪到x节点中。

         

      2. 如果情形1中的y节点中存在的数据小于t，那么查找数据大于k的最邻近子节点z中的数据的数量是否大于t，如果大于t，则将z节点中的最小值挪到x节点中
      3. 如果情形2中的z节点数据的数量也小于t，那么直接合并y，z节点

         

   2. 如果key节点对应的是一个叶子节点，那么在删除之后，需要根据以下情景做调整：

      1. 该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1，结束删除操作
      2. 如果兄弟结点数据个数大于Math.ceil(m/2)-1，则父结点中的key下移到该结点，兄弟结点中的一个key上移，删除操作结束

         

      3. 如果兄弟结点数据个数小于Math.ceil(m/2)-1，将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。