golang实现和讲解动态规划算法（背包问题）

前言

昨天阅读了程序员小灰的《什么是动态规划》，当时还在亲戚家中，借了纸笔计算了一通，回家结合一些背包问题文章用程序实现了一下。文章先从简单的解决斐波那契数列入手，接着在讲解工人挖矿获取最大价值的例子中（其实就是经典的0-1背包问题），有一些容易使你晕头转向的问题，本文当作算法复习，并且记录了解题思路。

0-1背包问题

有n件物品和容量为cap的背包，每件物品有自己的容量w和价值v，每件物品只能选择放或者不放，求解让装入背包的物品容量不超过背包容量(cap)的情况下，能获得的最大价值是多少。

问题描述

小灰文章里举例的是工人挖矿，我们还是转换成物品放入背包的问题来描述，并且价值缩小10倍，只为了减少图片里表格的宽度。

我们把工人挖矿问题套用到背包问题里。容量=工人数，物品=金矿，背包装下最大物品价值=金库装下最大采集金矿价值

现有5个物品

假如背包容量只有10，应该如何选择物品才能使背包里的价值最大化？由于数据样本较少，只有5个，所以我们仅凭肉眼瞄一眼，能知道放入物品1和物品2需要5+5=10个容量，不超过背包容量，并且能获得90的最大价值。但是如果有100个物品呢，那光用眼看会瞎的。还是靠代码吧。
简要概括：5个物品，选择放入总容量为10的背包里，价值最大化是多少？

解题思路

1、设定基础变量
先设一下要用到的变量，在后面的程序会用上

var w [5] int = [5] int{5, 5, 3, 4, 3}           //物品占用容量数组
var v [5] int = [5] int{40, 50, 20, 30, 30} //物品价值数组
var cap int = 10    //背包容量10

2、边界：v[0]
边界自然是只有一个物品的时候，只能把这个物品放入背包，没得选，边界是v[0]=40

3、最优子结构：F(n,c)=Max(不放入，放入)
我们先反过来想，放最后一个物品5的时候只有2种情况，情况1：不放入(放不下)；情况2：放入。设定不放入的时候当前总价值是f1，放入的时候总价值是f2，那计算最后一个物品5的时候，就是在这2中情况总选择总价值最大的情况。设定函数F(n)表示处理第n个物品，那依据上面的反向思考，得出F(n)=Max(不放入，放入)。

4、方程：F(n,c)=Max(F(n-1,c)，F(n-1,c-w[n])+v[n])
想一想不放入的情况，如果不放入，是不是就是等于处理上一个物品的情况，这次是n，上一次就是n-1，背包容量是c，所以不放入是F(n-1,c)。那放入的情况呢，那上一次的背包容量 就不是c了，要减去当前这个物品的容量w[n]，最后得出的上一次的总价值
再加上这次物品的价值v[n]，那结果是F(n-1,c-w[n])+v[n]。

编码解题

得出方程后，怎么写代码来运算呢，比较容易想到的是用递归算法的方式。从最后一个物品开始，逐步递归到第一个物品。

递归算法

var w [5] int = [5] int{5, 5, 3, 4, 3}           //重量数组
var v [5] int = [5] int{400, 500, 200, 300, 350} //价值数组

func main() {
    var cap int = 10
    var n int = len(w)
    max := computer(n-1, cap)
    fmt.Println("【", cap, "容量的背包在", n, "个物品里选择能装下的最大价值是", max, "】")
}
//递归
func computer(nIndex int, cap int) int {
    //基准条件：如果索引无效或者容量不足，直接返回当前价值0
    if nIndex < 0 || cap <= 0 {
        return 0
    }
    //不放第n个物品所得价值
    res := computer(nIndex-1, cap)
    //放第n个物品所得值(前提是要放的下)
    if w[nIndex] <= cap {
        var f1 int = res
        //计算放的下的方案值    v[n]是当前物品的价值，computer(n-1, cap-w[n])是计算前一个物品，在减去这个物品容量后的容量下的最大价值方案
        var f2 int = v[nIndex] + computer(nIndex-1, cap-w[nIndex])
        //取两种方案最大价值那个
        maxRes := maxForInt(f1, f2)
        res = maxRes
    } else {
        //fmt.Println(i, "|nIndex=", nIndex, ",", w[nIndex], ">", cap, "放不下")
    }
    return res
}

运行结果
【 10 容量的背包在 5 个物品里选择能装下的最大价值是 90 】
处理每一物品/金矿的时候都有2个最优子结构，递归的执行流程类似一个高度为N的二叉树，所以时间复杂度：O(2^N)。看看有什么可以优化的吗，能发现计算结果是有重复的，那我们用一个map把计算的结果存储下来，每次计算之前从map里获取已经计算出的结果，避免重复计算。我们称它为备忘录方法或者记忆方法。

备忘录方法(记忆方法)

var memo map[string]int = make(map[string]int) //备忘录算法存储使用
//备忘录
func computer2(nIndex int, cap int) int {
    //基准条件：如果索引无效或者容量不足，直接返回当前价值0
    if nIndex < 0 || cap <= 0 {
        return 0
    }
    //如果此子问题已经求解过，则直接返回上次求解的结果
    var key string = strconv.Itoa(nIndex) + "_" + strconv.Itoa(cap)
    res, ok := memo[key]
    if ok && res != 0 {
        return res
    }

    //不放第n个物品所得价值
    res = computer2(nIndex-1, cap)
    //放第n个物品所得值(前提是要放的下)
    if w[nIndex] <= cap {
        var f1 int = res
        //计算放的下的方案值    v[n]是当前物品的价值，computer(n-1, cap-w[n])是计算前一个物品，在减去这个物品容量后的容量下的最大价值方案
        var f2 int = v[nIndex] + computer2(nIndex-1, cap-w[nIndex])
        //取两种方案最大价值那个
        maxRes := maxForInt(f1, f2)
        res = maxRes
        //计算的结果存入备忘录，便于下次直接使用
        memo[key] = res
        fmt.Println("保存计算结果", key, "=", res)
    } else {
        //fmt.Println(i, "|nIndex=", nIndex, ",", w[nIndex], ">", cap, "容量不足")
    }
    return res
}

运行结果
【 10 容量的背包在 5 个物品里选择能装下的最大价值是 90 】

动态规划

我们来画个表格试着找下规律

填上边界值，前面分析过，边界值就是背包放置第一件物品的时候。第一件物品价值40，需要5的容量，那只要背包容量大于等于5的情况下都只有这一件物品可以选择，所以从容量5到最大容量10，最大价值都是40。

我们从上到下，从左至右，先把填充好的表格给大家看下。

直接看可能有点云里雾里，我再加上每个格子的计算过程。

能发现一个规律，每个格子都是和自己上一行(n-1)的格子进行比较，如果背包容量不够放不下，那最大值就是F(n-1,c)，如果放的下，那就在上一行找到可以背包容量为(c-w[n])的最大值，再加上当前物品的价值v[n]。

挑一个格子来进行说明，就好理解了。如上图，我们看绿格子(第4行，第9列)最大价值80是怎么得出的，是根据上一行的2个黄格子得出的，首先根据公式F(n,c)=Max(不放入，放入)，情况1不放入的f1=70(上一行同一列的最大值)，如果放入的话，当前物品的价值是v[n]=30，放入物品之前有多少容量呢，9-w[n]=3，那在第二行找3容量的背包最大值是f2=50，所以，max(70,50+30)，80较大，那这个格子填入80。每个格子都可以套用这个思路去理解，那整个表格的最后一行的最后一格就是整个题目的最大化价值90。
来看下动态规划代码，代码变量拆分的比较细，是为了更好理解每个步骤的作用：

//动态规划
func computer3(nIndex int, cap int) int {
    size := cap + 1//+1是因为把第一个索引0表示为0个容量，虽然没有实际意义，但是让从索引1开始的位置代表1容量，便于理解。
    preRes := make([]int, size) //上一轮最大价值存储
    res := make([]int, size) //这一轮最大价值存储

    //填充边界格子,把第一个物品放入能容纳下的第一行格子中
    for i := 0; i <= cap; i++ {
        if i < w[0] {
            preRes[i] = 0
        } else {
            preRes[i] = v[0]
        }
    }
    fmt.Println(1, preRes)

    //填充其他格子，外层循环是物品数量，内层循环是容量
    for i := 1; i <= nIndex; i++ {
        for j := 0; j <= cap; j++ {
            vCurrent := v[i] //当前物品价值
            wCurrent := w[i] //当前物品容量
            f1 := preRes[j]  //上一个不装的最大值
            //判断是否装的下
            if j < wCurrent {
                res[j] = f1
                //fmt.Println("----", j, "装不下", wCurrent, "取值=", f1)
            } else {
                capCurrent := j - wCurrent //装下后的剩余容量
                vPre := preRes[capCurrent] //获取上一轮剩余容量能存的最大价值
                f2 := vPre + vCurrent
                biger := maxForInt(f1, f2)
                //fmt.Println("----", j, ">=", wCurrent, "装的下", f1, "vs", f2, "(", vPre, "+", vCurrent, ")", "=", biger)
                res[j] = biger
            }
        }
        //用深拷贝，把res赋值给上一个数组preRes，如果用preRes=res，则是操作一个数组
        copy(preRes, res)
        fmt.Println(i+1, res)
    }

    return res[cap]
}

运行结果

1 [0 0 0 0 0 40 40 40 40 40 40]
2 [0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 90]
3 [0 0 0 20 20 50 50 50 70 70 90]
4 [0 0 0 20 30 50 50 50 70 80 90]
5 [0 0 0 30 30 50 50 60 80 80 90]
【 10 容量的背包在 5 个物品里选择能装下的最大价值是 90 】

时间复杂度：O(N*C)，空间复杂度：O(C)。

算法比较

如果cap=10，n=5，递归算法的计算次数是2^N=32，动态规划算法的计算次数是N*C=50，递归算法更少。
但如果cap=100，n=50，递归算法的计算次数是2^50=1.1259e+15，动态规划算法的计算次数是100*50=5000，递归算法需要计算1亿多次，量级相当可怕，动态规划算法只要5000次。
所以算法没有一定意义上的好坏，具体看使用场景。

总结

归纳下重点：

解题步骤

1、边界

2、最优子结构

3、状态转移方程

公式

F(n,c) = max(F(n-1,c),  F(n-1,c-w[n-1])+v[n-1])

时间复杂度

递归算法

时间：O(2^N)，空间：O(1)。计算次数随，物品n数量成指数增长，数量n一多效率就低下。

动态规划算法

时间：O(N*C)，空间：O(C)