一个由天赐的声音选人环节引发的问题

在天赐的声音有这么一个环节，它将六位飞行音乐合伙人两两配对。例如在有的一期中，六位合伙人分别是小鬼、黄雅莉、老舅、苏诗丁、盘尼西林、张蔷。他们在选人时是这样操作的，按照预先定义好的顺序，首先由小鬼随机选人（从一组牛奶中抽取搭档的人名），小鬼随机抽取到了老舅。六位合伙人去掉小鬼、老舅，还剩下黄雅莉、苏诗丁、盘尼西林、张蔷。这时让黄雅莉选人，黄雅莉随机抽中苏诗丁。最后剩下的盘尼西林和张蔷自然就分配为一组了。

说起来，我对音乐节目本身并不感冒，反而对另一个问题感起了兴趣。这样的分配方式是否是公平的？换句话说，这样的分配方式带来的结果是否是等概率的？

简单六人组问题的分析

为了叙述上的方便，我们用A、B、C、D、E、F分别指代以上的六位选手。因为 A 最先选，它选择其他人的概率都是 1/5.不妨记为：

$$P(A,B)=P(A,C)=P(A,D)=P(A,E)=P(A,F)=\frac{1}{5}$$

我们再来考虑 B 与其他选手的概率问题。上面已经说过 $P(A,B)=1/5$，我们来考虑 B 与其他选手，例如 C. 要想 B 与 C 配对，首先 B 和 C 都不能被 A 选上，这部分概率为 $3/5$. 其次，当 B 选人时，要从剩下的 3 人中随机选中 C，这部分的概率为 $1/3$. 综合起来

$$P(B,C) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$$

同理可论述 $P(B,D)$、$P(B,E)$、$P(B,F)$ 的概率都是 1/5.

$P(C,D)$ 的情况要复杂一些。当 A 开始选择时，它有两种情况，选择 B 或者不选择 B. 如果 A 选择了 B，接下来 C 选择 D，这一部分的概率是

$$\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$$

如果 A 不选择 B，则 A 应该选择 E 或 F，然后 C 选择 D. 这一部分的概率是

$$\frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$

则 $P(C,D) 是这两种情况的和：

$$P(C,D) = \frac{1}{15} + \frac{2}{15} = \frac{1}{5}$$

$P(C,E)$ 和 $P(C,F) 的情况也是一样，它们都是 $1/5$.

类似的讨论适用于 $P(D,E)$、$P(D,F)$、$P(E,F)$，虽然它们情况会更复杂点，但结果都是 $1/5$.

将问题推广到任意 n 个人

我们将问题推广到一般水平，即一共 n 个人的情况。我们将这 n 个人记为$A_1$、$A_2$、$\cdots$、$A_n$，并且论证每一对组合（如 $A_i$、$A_j$）配对的概率都是一样的。

我们不能像之前六个人那样详细地分析每一对的概率情况。随着 $i$ 越来越大，分析会越来越复杂。

我们先证明这样一个事实：如果我们知道 $A_i$ 之前的选手与其他所有选手的概率都为 $1/(n-1)$，则我们能推断出 $A_i$ 与其他选手的概率也为 $1/(n-1)$. 用数学语句说明就是：

已知 $P(A_{i'},A_j) = 1/(n-1)$，其中 $i' = 1,2,\cdots,i-1$，$j = 1,2,\cdots,n 且 j \ne i'$. 则能推断出 $P(A_i,A_j) = 1/(n-1)$，其中$j=1,2,\cdots,n 且 j \ne i$.

下面直接进入证明阶段。

对于 $A_{i+1}, \cdots, A_n$，它们与 $A_i$ 配对的概率都相等，因为它们遭遇的境况相同。对于任意的 $A_j$（$j >i$），首先，在 $A_i$ 之前的选手选人时，不能选中 $A_i$ 和 $A_j$；然后轮到 $A_i$ 选人时，要从剩下人当中选中 $A_j$. 通过这样的不精确的描述，能够得出

$$P(i,i+1) = P(i,i+2) = \cdots = P(i,n)$$

由已知的事实，我们已经知道（注意到$P(i,j)=P(j,i)$)

$$ P(i,1) = P(i,2) = \cdots = P(i,i-1) = \frac{1}{n-1}$$ 因为 $A_i$ 一定和其他选手配对，则有 $$P(i,1) + \cdots + P(i,i-1) + P(i,i+1) + \cdots + P(i,n) = 1$$ 所以 $$P(i,i+1) + \cdots + P(i,n) = 1 - \frac{i-1}{n-1} = \frac{n-i}{n-1}$$ 因为每一个概率都相等，所以当 $j>i$ 时，都有 $$P(i,j) = \frac{n-i}{n-1} \div (n-i) = \frac{1}{n-1}$$ 即证得我们想要的结果了。 有了这样一个事实，我们就可以递归得出所有想要的结果。首先，我们得到 $P(A_1,A_j)=1/(n-1)$；根据证明的事实，我们推断出 $P(A_2,A_j)=1/(n-1)$；这样继续可以得到 $A_3$、$A_4$、$\cdots$、$A_n$，即所有的配对关系。 ## 还剩下一个问题