图形选择-网格选择

网格选择，顾名思义，就是把多边形变成网格后选择（此方法只适用于多边形，若是曲线，我们就得将其分段）。

这样，网格选择就分成了两步：
1.将多边形分解为多个三角形。
2.判断鼠标点是否在三角形中。

我们先从最基础的判断鼠标点是否在三角形中开始说，我们可以用鼠标点和三角形其它顶点的夹角之和来判断。

• 点D 在▲ABC 中：∠ADB+∠BDC+∠CDA=360°
• 点D 不在▲ABC 中：∠ADB+∠BDC+∠CDA<360°

接下来我们先说一下一下如何基于三个点计算夹角，如∠mon

先根据三个点画一个角：

const [m,o,n]=[
    new Vector2(300,50),
    new Vector2(500,200),
    new Vector2(300,200),
];

const poly=new Poly({
    stroke:true,
    vertices:[m,o,n]
});
poly.draw(ctx);

1.把∠mon 的顶点o 归零：

m.x-=o.x;
m.y-=o.y;
n.x-=o.x;
n.y-=o.y;

2.根据余弦定理，可以基于点m乘以点n 的点积，om的长度乘以on 的长度，计算∠mon 的余弦值

const dot=(m.x*n.x+m.y*n.y);
const len=Math.sqrt(m.x*m.x+m.y*m.y)*Math.sqrt(n.x*n.x+n.y*n.y);
const cosTheta=dot/len;

3.根据反余弦方法acos() 求∠mon，也就是下面的theta

const theta=Math.acos(cosTheta);

Math.acos() 可以自动把根据余弦取得的弧度限制在[0,Math.PI]之内。
如果我们使用Math.atan2(y,x)，会得到基于x 轴正方向的弧度，而且y 值为负的时候，atan2(y,x) 的值也是负数，这是不适合夹角求和的。
至于这里面涉及的点积公式，这是个纯数学的知识，大家先知道其用法即可，我们后面得为它再起一章：点积公式详解

我们知道了一个夹角的求法之后，那就可以去求∠ADB+∠BDC+∠CDA 的夹角和了。其和若小于360°，那就在三角之外，否则在三角之中。
我把这样的方法封装在了Vector2d 类里：

inTriangle(p0,p1,p2){
    const [a0,a1,a2]=[
        p0.includedAngleTo(this,p1),
        p1.includedAngleTo(this,p2),
        p2.includedAngleTo(this,p0),
    ];
    const sum=a0+a1+a2;
    return Math.PI*2-sum<=0.01;
}

注：0.01 是一个用于容差的数。电脑对浮点数的运算不是绝对精确的，所以我没有直接用Math.PI*2===sum来做判断，而且是让鼠标点只要靠近了三角形一定范围，就算选择上了。

p1.includedAngleTo(p2,p3) 是求∠p1p2p3 的方法：

includedAngleTo(v1,v2){
    const [s1,s2]=[
        this.clone().sub(v1),
        v2.clone().sub(v1),
    ];
    return s1.includedAngle(s2);
}

p1.includedAngle(p2) 求的是角的顶点归零后夹角

includedAngle(v){
    return  Math.acos(this.clone().dot(v) / (this.length() * v.length()));
}

dot() 就是点积方法

dot( v ) {
    return this.x * v.x + this.y * v.y ;
}

length() 是求向量长度的方法

length() {
    return Math.sqrt( this.x * this.x + this.y * this.y );
}

inTriangle() 的使用方法：

const poly=new Poly({
    stroke:true,
    close:true,
    vertices:[
        new Vector2(50,50),
        new Vector2(250,200),
        new Vector2(450,50),
    ]
});
poly.draw(ctx);


const p=new Vector2(150,100);
ctx.beginPath();
ctx.arc(p.x,p.y,3,0,Math.PI*2);
ctx.fill();
const bool=inTriangle(p,...poly.vertices);
console.log(bool);

若上面的bool为true，那就说明点在三角形中。

关于判断判断点位是否在三角形中的方法我们就说到这，下一章我们来说：图形选择-多边形网格化

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