JS动态规划算法--01背包问题

追星人小豪

动态规划

动态规划算法是通过拆分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决。

01 背包问题

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的体积是 c[i],价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大(每一种物品只能放一次)

分析解答

也不多扯皮,直入正题。

先看一个简单的问题,斐波那契数列:

dynFib(n) {
  let arr = new Array(n).fill(0);
  arr[0] = 1;
  arr[1] = 1;
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
  }
  // 返回最后一个
  return arr[n - 1];
}

该问题就是一个简单的动态规划问题,关键点在于找到状态关系: f(n) = f(n-1) + f(n-2);

回到背包问题,可以参考上面斐波那契数列的递推关系,

假设现在背包容量为 10,有一个物品数组:

const product = [
  { weight: 2, value: 3},
  { weight: 2, value: 6 },
  { weight: 6, value: 5 },
  { weight: 5, value: 4 },
  { weight: 4, value: 6 },
];

如果背包容量为 0,那么什么也放不下

如果背包容量为 1,还是什么也放不下

如果背包容量为 2,有两个物品都为质量都为 2,该放哪一个呢?

这时需要做一个决策,先放物品 1,此时价值为 3;此时比较 上一个决策的价值 - 物品 1 的价值 + 放物品 2 的价值 和物品 1 的价值比,取大的当做该容量下的最优解

用状态方程描述为: fi= Math.max(fi-1,fi-1-c[i]]+w[i]); 其中 i 为第 i 件物品(0 开始), j 为当前背包容量

如果背包容量为 3,.......

......

直到背包容量为 10,得到此时的最优解


初始化一个二维矩阵来记录背包和价值的关系:

this.result = [];

const row = this.product.length;
const col = this.capacity;
for (let i = 0; i < row; i++) {
  this.result[i] = new Array(col + 1).fill(0);
}

我们会发现,每一个状态都依赖于上一个状态,第一个物品需要比较没有物品的状态做比较,我们需要对 i=0 时做特殊处理,还有一个更巧妙的方法,初始化一个 -1 的状态:

this.result[-1] = new Array(col + 1).fill(0);

如下图,我们发现类似于填表的方式,右下角即为背包最大容量时的价值;

观察下表可以发现,该矩阵记录了每一个容量即状态的最优解,比如容量 7 时的最优解,我们可以找到 7 那一列最下面即 12;

主函数部分,利用状态方程进行最优决策

calculate() {
  const row = this.product.length;
  const col = this.capacity;
  let product;
  for (let i = 0; i < row; i++) {
    for (let j = 0; j < col + 1; j++) {
      product = this.product[i];
      if (j < product.weight) {
        this.result[i][j] = this.result[i - 1][j];
      } else {
        this.result[i][j] = Math.max(
          this.result[i - 1][j],
          this.result[i - 1][j - product.weight] + product.value
        );
      }
    }
  }
  delete this.result[-1];
  return this.result[row - 1][col];
}

动态规划解决问题主要是两个:

  • 拆分、划分问题到某个颗度时,我们可以很轻易的做出决策
  • 确定状态方程,比如上面的: fi= Math.max(fi-1,fi-1-c[i]]+w[i])

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