树（习题课）

哈夫曼树

• 在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的所有结点，被我们称为两个结点之间的路径。

上面的二叉树当中，从根结点A到叶子结点H的路径，就是A，B，D，H。

• 在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量，被我们称为两个结点之间的路径长度。

仍然用刚才的二叉树举例子，从根结点A到叶子结点H，共经过了3条边，因此路径长度是3。

• 结点的带权路径长度，是指树的根结点到该结点的路径长度，和该结点权重的乘积。

如上图，假设结点H的权重是3，从根结点到结点H的路径长度也是3，因此结点H的带权路径长度是 3 X 3 = 9。

• 树的带权路径长度（WPL），即在一棵树中，所有叶子结点的带权路径长度之和。

仍然以这颗二叉树为例，树的路径长度是 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53

哈夫曼树：哈夫曼树（Huffman Tree）是在叶子结点和权重确定的情况下，带权路径长度最小的二叉树，也被称为最优二叉树

• 举个例子，给定权重分别为1，3，4，6，8的叶子结点，我们应当构建怎样的二叉树，才能保证其带权路径长度最小？

原则上，我们应该让权重小的叶子结点远离树根，权重大的叶子结点靠近树根。

下图左侧的这棵树就是一颗哈夫曼树，它的WPL是46，小于之前例子当中的53：

以下说法错误的是（  A ）

• A. 哈夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
• B. 若一个二叉树的树叶是某子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。
• C. 已知二叉树的前序遍历和后序遍历序列并不能惟一地确定这棵树，因为不知道树的根结点是哪一个。
• D. 在前序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点都是直接跟在该结点的之后。

度为二的树就是二叉树。（  错 ）

首先，我们明确一个概念，树的度数是按节点的最大度数来定义的。所以，度为 2 的树要求每个节点最多只能有两棵子树,并且至少有一个节点有两棵子树；这与二叉树的要求：度不超过 2,就是说度也可以是 1 或者 0相矛盾。
其次，二叉树还有一个重要特点：左子树和右子树不一样；而普通的树不分左右子树.

二叉树共有5种基本形态

(1)空二叉树；(2)只有一个根结点的二叉树；(3)只有左子树；(4)只有右子树；(5)左右子树都有的二叉树

霍夫曼树的结点个数不能是偶数

首先，哈夫曼树只有度为0和2的节点。这是因为哈夫曼树的构造总是以两棵值最小的树合并，每次合并都是两棵子树，不会有度为1的节点。
由二叉树性质，二叉树的节点关系n0=n2+1，也就是度为0的节点数总是比度为2的节点数多1.若其中一个为奇数那么另外一个就必然是偶数，加起来就还是奇数。

哈夫曼树的构造方法

假设有6个叶子结点，权重依次是2，3，7，9，18，25，如何构建一颗哈夫曼树，也就是带权路径长度最小的树呢？

第一步：构建森林

我们把每一个叶子结点，都当做树一颗独立的树（只有根结点的树），这样就形成了一个森林：

在上图当中，右侧是叶子结点的森林，左侧是一个辅助队列，按照权值从小到大存储了所有叶子结点。至于辅助队列的作用，我们后续将会看到。

第二步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点，不断重复至只有一个节点。

借助辅助队列，我们可以找到权值最小的结点2和3，并根据这两个结点生成一个新的父结点，父节点的权值是这两个结点权值之和：

此时，队列中仅有一个结点，说明整个森林已经合并成了一颗树，而这棵树就是我们想要的哈夫曼树：