AtCoder Context ABC 079 D - Wall

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原题链接

题目
魔法少女想要把这个世界上所有的数字都变为1
把一个数字从i变成j需要cij个魔法点数。0<=i,j<=9
现在面前有一堵墙，宽为W，高为H。只要有一个砖块里写着0以上9以下的整数。
从上往下，从左往右i行（1<=i<=H）,第j列(1<=j<=W),写着数情报Aij

• Aij = -1 的情况下，代表砖头上没有写数字
• Aij ！= -1 的情况下，代表砖头上写着数字Aij

求把墙壁上所有的数字都变成1，所需要的最小魔法值。

输入前提条件

• 所有的输入均为整数
• 1 <= H,W <= 200
• cij = 0 (i = j)
• -1 <= Aij <= 9
• 墙上至少写了一个整数

输入
输入按照以下形式标准输入

H W
c0,0 ... c0,9
::
c9,0 ... c9,9
A1,1 ... A1,W
:
AH,1 ... AH,W

输出
输出把墙壁上所有的数都变成1，所需要的最小魔法值

---

例1
输入

2 4
0 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 0 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 0 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 0 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 0 9 9 9 9 2
9 9 9 9 9 0 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 0 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 0 9 9
9 9 9 9 2 9 9 9 0 9
9 2 9 9 9 9 9 9 9 0
-1 -1 -1 -1
8 1 1 8

输出

12

要把8变成1的话，先把8变成4，再把4变成9
墙壁上有2个8，所以总共需要6*2=12点魔法值

例2
输入

5 5
0 999 999 999 999 999 999 999 999 999
999 0 999 999 999 999 999 999 999 999
999 999 0 999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 0 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 0 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 0 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 0 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999 0 999 999
999 999 999 999 999 999 999 999 0 999
999 999 999 999 999 999 999 999 999 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

输出

0

请注意，墙壁上的数不需要改变的情况

例3
输入

3 5
0 4 3 6 2 7 2 5 3 3
4 0 5 3 7 5 3 7 2 7
5 7 0 7 2 9 3 2 9 1
3 6 2 0 2 4 6 4 2 3
3 5 7 4 0 6 9 7 6 7
9 8 5 2 2 0 4 7 6 5
5 4 6 3 2 3 0 5 4 3
3 6 2 3 4 2 4 0 8 9
4 6 5 4 3 5 3 2 0 8
2 1 3 4 5 7 8 6 4 0
3 5 2 6 1
2 5 3 2 1
6 9 2 5 6

输出

47

读懂题目
墙上写的cij的情报，代表了两个点之间的相互距离

如图所示，打个比方。有4个点。左边是墙上的情报。墙上的情报代表点和点之间的相互距离。右边的图，描绘了点和点之间的距离。

解题思路
我们已知点和点之间的直接距离。每个点到1的距离的和就是把所有的点变成1所需要的魔法值

但是，每个点到1的路线，除了直接线路以外，还有间接线路
比如上图中，1到4的直接距离是180
但是1到4的间接路线还有1->2->4
总共消耗65点魔法值

因此可以看出，每个点到1的路线虽然有直接路线，但是因为其他路线也通。所以，对于每一个点，我们要找到这个点到1的最短路径。

直接了断来说，floyd算法求最短路径

步骤

1. 遍历每一个点，把这个点看作中转站A。
2. 在1的基础上遍历所有的点。所有的点，包括这个点自己，比如点X，经过这个中转站A，到达目标点B的距离设为distanceXAB
3. 点X到目标点B的目前最短距离为XB(注意，这里可能已经不是直接距离了)
4. 对比，distanceXAB和distanceXB，如果distanceXAB比distanceXB要小，那么用distanceXB去覆盖distanceXAB。覆盖的不光是距离，还有路线

以1为中转站

如上图，刚开始的时候，1为中转站，我们发现经过1到达别的地方，和直接到达别的地方相比，要么距离一样，要么还要远
3->1->4 distance = 20+180 = 200
3->4 distance = 5

1->1 distance = 0
1->1->1 distance = 0

我们不更新路径

以2为中转站

这种情况下
1->4 distance = 180
1->2->4 distance = 65
1经过2到4
比
目前的1直接到4
的路径距离要近

我们用1->2->4的路线去覆盖1->4的路线
用65去覆盖180

类似的情况还有1到3，3到1，4到1

以3为中转站

同理，当遍历到3，以3为中转站的时候
比如1-4的走法，已经被更新为1->2->4 distnace 65
但是如果经过3的话，1->2->3->4 distance 16
显然经过3到4会更近

1到4，2到4
4到1，4到2
会在原来的基础上选择经过3来到达目的地，这样会更近一些

以4为中转站

我们发现在已有的路线下，好多都已经不是原本的直达，就算经过4也没能缩短路径距离，所以没有线路被更新

就这样遍历每个点，把每个点当作中转站，然后判断是不是要经过这个中转站

总结
floyd算法求最短路径的精髓就在于，每次短路线覆盖长路线，覆盖的不仅仅是距离本身，实际上还隐藏覆盖了路线

代码

H, W = map(int,input().split())

ARR = []

for i in range(10):
    res = list(map(int, input().split()))
    ARR.append(res)

CRR = []

for i in range(H):
    CRR.append(list(map(int, input().split())))


def calculate(h, w, arr, crr):
    for i in range(0, 10):
        for j in range(0, 10):
            for k in range(0, 10):
                s1 = arr[j][i] + arr[i][k]
                s2 = arr[j][k]
                arr[j][k] = min(s1, s2)

    result = 0
    for cr in crr:
        for c in cr:
            if c == -1:
                continue
            else:
                result += arr[c][1]

    print(result)


calculate(H, W, ARR, CRR)

总结

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