数据结构笔记 | 清华大学邓俊辉 | 第一章

第一章 绪论

a.计算

算法要素：

• 输入与输出、
• 基本操作、确定性与可行性
• 有穷性与正确性
• 退化与鲁棒性
• 重用性

好算法：正确（处理简单的、大规模的、一般性的、退化的、合法的输入）、健壮、可读、效率（速度快、存储空间小）

计算成本T(n)：求解规模为n的问题所需基本操作数，在规模为n的所有实例中，只关注最坏（成本最高）者

b.大O记号

T(n)定义为算法所执行基本操作的总次数。

关注T(n)的渐进上界。引入大O记号。

具体地，由T(n) < = c.f(n)，用f(n)代替T(n)，可忽略常系数和低次项。

//常数情况
2013×2013
//包含循环情况
for(i=0; i<n; i+= n/2013 + 1);
for(i=1; i<n; i=1 << i);
//包含分支
if((n+m)*(n+m) < 4*n*m) goto UNREACHABLE;
//包含递归
if(2==(n*n)% 5) 01(n);

O(1) ：常数

O(logn) 对数：此类算法非常有效，复杂度无限接近常数，可忽略常底数和常数次幂。

O(n) 线性及多项式：线性，从n到n2是编程题主要覆盖的范围。

O(2^n) 指数：无效，从多项式到指数被认为有效算法到无效算法的分水岭。指数复杂度算法无法真正应用于实际问题中，不是有效算法，甚至不能称之为算法。相应地，多项式复杂度的算法也被称作南街的(intractable)问题。

c.常见算法分析

两个任务：正确性（不变性、单调性）+ 复杂度
复杂度分析：猜测+验证，迭代（级数求和），递归（递归跟踪+递推方程）
算数级数：与末项平方同阶
幂方级数：比幂次高出一阶
几何级数(a>1)：与末项同阶
收敛级数：O(1)
调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n=O(logn)
对数级数：log1+log2+…+logn=O(nlogn)

以冒泡排序为例：

void bubblesort(int A[], int n){
    for (bool sorted = false; sorted = !sorted; n--)
        for (int i=1; i<n; i++)
            if (A[i-1] > A[i]){
                swap(A[i-1], A[i]);
                sorted = false;
            }
}

不变性：经k轮交换，最大的k个元素就位
单调性：经k轮交换，问题规模缩减至n-k
正确性：经至多n趟扫描后，算法必然终止且给出正确解答

d.递归及迭代

分而治之：划分为两个子问题，规模大体相当。

减而治之：划分为两个子问题，其一平凡，另一缩减。

1. Fibonacci数：迭代

动态规划：按规模自小而大求解各子问题的过程。

int fibI(int n){
    f = 0; g = 1;
    while (0 < n--){
        g = g + f;
        f = g - f;
    }
    return g;
}

仅使用两个中间变量f和g，记录当前的一对相邻Fibonacci数。整个算法仅需线性步的迭代.

时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)

1. 最长公共子序列（可能有多个；可能有歧义）

对于序列A[0, n]和B[0, m]，LSC有三种情况：
（1）n = -1或m = -1，取空序列（“”）

（2）A[n] = ‘X’ = B[m]，取LSC(A[0, n),B[0, m)) + ‘X’ （减而治之）

（3）A[n] ≠ B[m]，则在 LCS(A[0, n], B[0, m))与 LCS(A[0, n), B[0, m])中取更长者 （分而治之）

最好情况：O(n + m)

最坏情况：O(2^n),此时 (n = m)

与斐波那契数列一样，有大量重复的递归实例；若采用动态规划，只需O(nm)时间即可计算所有子问题，为此只需:

（1）将所有子问题假想列成一张表；

（2）颠倒计算方向，从LCS(A[0], B[0])出发依次计算所有项。

e.习题集

习题1-12

(unsigned long) -1 //在不知道最大无符号整数大小的情况下，只需将-1转换为此类型，轻松获得此类型的最大值