单位换算竟然这么简单！快学学换算系数吧！

无所不在的单位

从小学开始，我们就一直接触到计量单位。从最开始基础的时分秒，到后来速度的单位，我们似乎还在掌控之中。

但是到了中学，计量单位就开始变得多了起来。各种物理公式混杂在一起，让人手忙脚乱。

这里，我们来梳理一下常见的实用单位分析的方法，把我们从单位转换和公式中解救出来！

单位换算

小学版本

小学的时候的单位换算主要就是乘法和除法并用。比如说时间单位：
$$1\text{min} = 60\text{s}$$
我们要算$\text{min}$和算$\text{s}$的时候是不一样的。

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例1： 转换为秒：$53\mathrm{min}$

解1： $53\times 60 = 3180(\text{s})$

例2： 转换为分钟：$3180\mathrm{s}$

解2： $3180\div 60 = 53(\text{min})$

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但是这种方法还要再思考到底要用乘法还是除法，非常的麻烦，还容易出错。

如果要算的步骤多了，特别容易把自己搞晕：

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例3： 转换为天：$30\mathrm{s}$

解3：

$30\div 60 = 0.5(\text{min})$

$0.5\div 60 \approx 0.00833(\text{h})$

$0.00833\div 24 \approx 0.000347(\text{day})$

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这简直太容易出错了！而且小数一步一步地算最后的答案还不精确！

换算系数（conversion factor）则能够完美地解决这一问题。

中学版本

换算系数

换算系数的优雅之处就在于，他利用了数学上“任何数乘以1都得原数”的性质，将要转换的两个单位写成了分数的形式。拿时间来说，我们左右两边同时除以左边的数：
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{1\mathrm{min}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
$$1 = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
同理，左右同时除以右边的数：
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{60\mathrm{s}}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = 1$$
所以我们就有了时间的换算系数：
$$\boxed{\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 1}$$
其实就是把等式左右两边堆成一个等于1的分数。

换算系数的使用

在转换单位的时候，记住这三点：

1. 计算全程带单位。
2. 把单位当成未知数运算。
3. 选择能够约分的转换系数：分别在分子分母对角线的单位可以约分。

还是同样的题，思考时间大大减少：

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例4： 转换为秒：$53\mathrm{min}$

解4：

$$ \begin{aligned} 53\mathrm{min} &= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times 1 \\\\ &= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} \\\\ &= 53 \times 60 \mathrm{s} \\\\ &= 3180 \mathrm{s} \end{aligned} $$

熟练之后，一行就能搞定了：
$$53\text{min} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 3180\text{s}$$

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在分子和分母上的$\text{min}$成功被约掉了！

这看起来更复杂了，但事实上只是把有用的信息写出来了，在更加复杂的场景中给每个数字赋予了意义。我们实践一下更复杂的题目:

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例5： 转换为天：$30\mathrm{s}$

解5：

$$ \frac{30\mathrm{s}}{1} \times \frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} \times \frac{1\mathrm{h}}{60\mathrm{min}} \times \frac{1\mathrm{day}}{24\mathrm{h}} \approx 0.000347\text{day} $$

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一行就得答案，不用管乘除法，而且只用输一次计算器！

还有更难的复合单位，也不在话下：

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例6： 转换为$\text{m/s}$：$1\text{km/h}$

解6： 一步一步来，先转换长度单位，让$\text{km}$在对角线：

$$ \frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times \frac{1000\text{m}}{1\text{km}}... $$

再转换时间单位，让$\text{h}$和$\text{min}$在对角线：

$$ ...\times \frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times \frac{1\text{min}}{60\text{s}} $$

我们得到：

$$ \frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times \frac{1000\text{m}}{1\text{km}} \times \frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times \frac{1\text{min}}{60\text{s}} \approx 0.28\text{m/s} $$

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遇到奇奇怪怪的题也不会一时语塞了：

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例7： 已知$2\alpha = 3\beta，15\beta = 7\gamma$，求$37\alpha = ?\gamma$

解7：

$$ \frac{37\alpha}{1} \times \frac{3\beta}{2\alpha} \times \frac{7\gamma}{15\beta} = 25.9\gamma $$

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再也不用担心用错乘除法了！

总结一下：转换系数

已知一个单位转换$a=b$，我们就可以把它写成转换系数
$$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{b}{a} = 1}$$
再根据已知条件，遵守以下原则，就可以顺利转换单位了！

1. 计算全程带单位。
2. 把单位当成未知数运算。
3. 选择能够约分的转换系数：分别在分子分母对角线的单位可以约分。

妈妈再也不用担心我的单位转换啦！

附录

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图文 | 林腾睿 UW'23